问题真不少，我都简单回答

1. trading和hedge没有什么大区别，目的不同而已，一个take risk一个avoid risk

2.BS模型正确的话所有Strike对应的vol都一样，如果有smile，hedging会产生很大的问题。定价你可以用不同的波动率，但是hedging的时候你一旦价格变化一点，vol就不一样了，所以delta很难算准。Heston的SV model，Cox的CEV model，还有Jumping model都可以描述这种现象。

CIR过程可以作为volatility的模型，因为他和interest rate一样有mean reversion的性质，一样要是正数，一样是不可交易的资产，因此直接移植比较方便，你可以吧CIR的sqrt改成任意的0-1之间的power。

3.CRR，你可以算出股价的前两个moment，即均值和方差，然后解出来，可能要用到泰勒展开的近似，也可能不用（至少Hull用了），这个Hull的书上关于二叉树的那章就有。也可也看CRR原文。

4. 进步就是提出了动态的hedging和replication的概念，将原先独立的金融工具stock，bond，和option结合在了一起，这才有了金融工程。局限么，很多，你说的不错，常见的就是利率是常数（不过这个之后black提出了Black‘s model修正了），最大的问题就是smile问题，这个是sigma是常数造成的，基本所有改进都是围绕波动率。

5.这个我没有研究过，反正亚式期权容易hedge，因为他跟历史股价有关，因此有predictable的part，而且历史数据越多越容易预测，不确定性相对别的期权少了很多。

非常感谢！解决了我很多问题，追问两句，
1.gamma trading怎么搞？
2.stock,bond,option结合在一起指的是replicate一个risk free asset然后推BS PDE吗？动态hegding指什么？

1. Gamma trading，我只说一下basic idea，它是一个波动率交易策略，又叫convexity trading（gamma是convexity），具体的做法是你构建一个delta neutral的portfolio，然后赌波动率会放大，只要波动率放大无论股价往哪里走都赚钱。我从前几天一个坛友分享的NYU的stern business school 的课件里截了一个图过来。具体见课件

https://bbs.pinggu.org/thread-2316463-1-1.html p44-46 "taking advantage of GAMMA"

如图所示，构建了这么一个delta neutral的portfolio，long option,short stock,即在股价位于X1时，short直线（切线），long曲线（红线），当股价往两边移动时，（如移动到X0或者X2），红线都位于切线上方，你的portfolio 的value就从X0时的0，变成了正数，你就赚钱了。

这种策略有几个风险：

1. 对于波动率的估计，一旦斜率算错，或者smile，不是相切就有可能亏钱
2. 这种策略不是theta neutral，是假设时间不变的情况下才发生的，因此时间不能长，一旦股价无明显波动就要平仓出来，否则红线会往下降，造成亏损。


2.你可以这么认为，不过更好的角度，是指stock和bond（跟确切的说是money market account）能复制，或者人工合成一个option，这对于pricing和产品的设计是非常重要的。衍生品的最大的特点就是合成和拆分asset以及转移现金流。
动态的hedging指的是你建立了一个portfolio，a(t,S)S+b(t,S) B 来复制option (S=stock, B=bond)头寸a和b是time和股价的函数，为了hedge风险你得不停地调整你的position（因为option的payoff不是线性的，a和b是常数得到的是线性payoff，因此需要调整a，b才能变成非线性），而不是持有一个固定的比例。

说的非常详细，非常基础，看了一遍大概懂了。我在仔细看一下！

赞，现在有了VIX期货了volatility trading变得比上面简单多了