请教大神解答关于林文夫书中的疑惑

kfywt

3777

收藏 2013-04-18

林文夫一书中的复习题有一个疑惑：
解释变量矩阵X列满秩，那么投影矩阵P的对角线元素为什么会小于等于1呢？？
希望大神不吝赐教。谢谢！

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andruw

2015-9-22 22:58:58

思路：
定义：P + M = I
所以：trace(P) + trace(M) = trace(I)。（1）即对角线元素和等于1。

另外，P 半正定矩阵，M半正定矩阵。（2）即对角线元素都大于等于零。
综合（1）（2），命题得证。

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kfywt

2015-9-23 08:41:47

andruw 发表于 2015-9-22 22:58
思路：
定义：P + M = I
所以：trace(P) + trace(M) = trace(I)。（1）即对角线元素和等于1。

谢谢。能否给出证明详细呢？谢谢大神了。

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statax

2015-9-23 08:52:27

根据投影阵的定义P=I-X*inv(X'X)*X'，利用矩阵迹的性质，trace(A+B)=trace(A)+trace(B); trace(AB)=trace(BA)

有trace(P)=trace(I)-trace(X*inv(X'X)*X')

而trace(X*inv(X'X)*X')=trace(X'X*inv(X'X))=k+1, trace(I)=n

所以trace(P)=n-k-1。

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andruw

2015-9-23 14:01:16

statax 发表于 2015-9-23 08:52
根据投影阵的定义P=I-X*inv(X'X)*X'，利用矩阵迹的性质，trace(A+B)=trace(A)+trace(B); trace(AB)=trace(B ...

有两点：
1. 投影阵的定义：P = X*inv(X'X)X'
2. X为N×K矩阵。所以trace(I) = trace(X'X*inv(X'X)) = K
所以，trace(P) = K

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kfywt

2015-9-24 10:55:50

andruw 发表于 2015-9-23 14:01
有两点：
1. 投影阵的定义：P = X*inv(X'X)X'
2. X为N×K矩阵。所以trace(I) = trace(X'X*inv(X'X)) ...

谢谢赐教。

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