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2013-05-05
事件:有0.7的概率扩大2倍,0.3的概率减少50%。
这个事件发生两次,初始值为1。所以最终结果是:0.49概率为4、0.42概率为1、0.09概率为0.25。
因此结果的期望=0.49*4+0.42*1+0.09*0.25=2.4025.

以上算法是最基础的简单算法。还可以这样算:

  上述分布可以看成二项分布,两次独立的在A、B中选择,选择A的概率为0.7、选择B的概率为0.3,A对应的结果是扩大2倍、B对应结果是缩小0.5倍。

方法2:由于是需要做两次选择,一次选择结果的期望值=0.7*2+0.3*0.5=1.55倍,所以做了两次选择结果的期望=1.55^2=2.4025倍。
因此方法2计算结果与方法1相同。

方法3:由于A发生的结果是扩大2被,B发生的结果是缩小0.5倍。所以我们可以计算出A发生次数的期望值、B发生次数的期望值,根据二项分布次数的期望=n*p,我们可以得知:A发生的次数期望值=2*0.7=1.4、B发生次数的期望值=2*0.3=0.6。所以最终期望结果是A发生了1.4次、B发生了0.6次,那么结果=(2^1.4)*(0.5^0.6)=1.74.

问题:为什么方法3算出来的结果不正确?明明发生的次数的期望是正确的,为什么这么计算的结果不正确呢?第一个回答出来奖励20论坛币

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2013-5-5 23:32:07
方法3的错误在于,若进行两次实验,则实验结果不再是A,B,而是①扩大4倍,②不变(2*0.5)③缩小为1/4,因此此时计算各事件的期望发生次数如方法1,答案也同
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2013-5-6 00:21:57
这个例子很好地说明,很多数学问题不能靠“直觉”。要算数学期望,就要从其数学定义出发,不能靠“直觉”。方法1是从定义走的方法,方法2能成功是由于当X和Y独立时,有一个数学期望的性质:E(XY)=E(X)E(Y),(即:把X看成是一个0.7概率取值为2,0.3概率取值为0.5的随机变量,Y也是如此定义的随机变量)。方法3就只是“直觉”了,数学期望没有这个性质。
我举个比你那个更简单的例子:X是0.5概率取值为0,0.5概率取值为1的贝努利随机变量,定义Z=2^X,那么是否可以有种算法是E(Z)=2^(E(X))=2^0.5吗?当然不是(因为数学期望没这种性质),按数学期望的定义计算就是E(Z)=0.5*(2^0)+0.5*(2^1)=1.5。注意这不是2项或某种分布不能用第3种算法的问题,所有的分布都不可以用象第3种算法(或其他不符合数学期望定义也不符合数学期望性质的算法)算期望的。
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2013-5-6 00:34:22
TaskShare 发表于 2013-5-6 00:21
这个例子很好地说明,很多数学问题不能靠“直觉”。要算数学期望,就要从其数学定义出发,不能靠“直觉”。 ...
非常感谢,好久没有摸数学了。你一点我恍然大悟,确实方法3是我的感性认识。
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