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吃饱与理性是否一致依赖于边际效用与吃饱的定义
以下是人大经济论坛上的发言。
hhgxyzp
按照西方经济学的理论，你不能吃饱饭的，否则，你就不是理性的
1、概念的说明
（1）吃饭是要花钱的，且钱的效用大于0；
（2）在市场经济条件下；
（3）吃饱时，TU最大，MU=0；这应是共识吧.
2、不能吃饱的证明：
假定只购买一种食品吃，按经济学理论，最优购买量是MU=lP>0,若你购买到吃饱时才不买,则MP=0<lP, 你就不是理性经济人了.如果是理性经济人,你就不能吃饱.
若你购买的是一种以上的商品，则最优购买量按经济学理论应满足MU1/P1=MU2/P2>0的要求.当然也不能吃饱,否则,同样是不理性的了.
请大家批驳,看我的看法在哪里错了!
首先，概念说明第3条，吃饭吃饱时TU最大没有错，不过MU为零则不一定了。楼主只是从单变量函数来看问题，而没有从多变量函数来看问题。虽然版主Jerryliu对此做出了回答，但是也没有详细说清楚。下面我来作一个较为完整的解答，希望能够为这个问题的解决贡献力量。
一．数学分析基础知识
首先我们必须要明确一些数学的基础知识，主要涉及偏导数、方向余弦、方向导数这样三个概念。
下面先复习一下这三个概念。
偏导数是指把其它自变量看作不变，当某一个自变量改变时，函数值的变化率。
方向余弦指某一个方向，标准化以后用这个方向角的余弦来表示。对于任何一个向量｛X，Y｝，其方向余弦是｛X/(X*X+Y*Y)，Y/(X*X+Y*Y)｝={cosA,cosB}，其中A角是某一向量与X轴正方向的夹角，B是这一向量与Y轴正方向的夹角。在第一象限内，A＋B＝90度。
A角 B角 图1 向量的方向角
方向导数是多元函数沿着某一特定方向的变化率。在二元函数的情况下，方向导数指函数沿平面上某一方向的变化率。读者可以参见任何一本数学分析教材，这里笔者主要参考了陈传璋等所编高教版的数学分析教材。在这本书下册的177页讲方向导数时是这样讲的，下面摘引下来节省大家时间。
设函数w=f(x,y,z)，设P（x,y,z）为一给定点，L是从P点出发的射线，它的方向向量用g表示,g的方向余弦是{cosα,cosβ,cosγ}。设P’是射线L上的任一点,P’的坐标为
(x+△x,y+Δy,z+Δz)=(x+PP’cosα,y+PP’cosβ,z+PP’cosγ)
PP’是线段PP’的长度。在向量PP’这段长度内，函数f(x,y,z)的平均变化率为
Δf/PP’= [f(P’)-f(P)]/ PP’
令P’沿方向L趋于P，这时如果极限
存在，此极限就称为f(x,y,z)在P点沿L的方向导数，并记为
大家可以看到，如果f(x,y,z)在P点可微，则在P点沿任何方向L的方向导数都存在，并有以下求导公式：
其中{cosα,cosβ,cosγ}是L的方向余弦。
二．经济学分析基础知识：预算区域与效用函数的拟凹性
在标准消费决策理论里面，预算线方程是PxX+PyY=M，预算线与X、Y轴所围成的图形称为预算内区域，是消费者决策的可行区域。如图所示，红色区域
预算区域 预算线 图2 预算区域是一个三角形区域
而效用函数设定为拟凹函数，它与凹函数不同，拟函数并不一定边际效用递减。比如U＝XY并不是边际效用递减。边际效用递减对于消费者最优决策并不必要。不过，这里为了与通常的新古典经济学保持一致，仍然假定边际效用递减。
三．问题的解决
下面讨论楼主给出的中心问题。分两种情况讨论。
1、只有一种商品的情形
消费者最优决策写成是
Max U=U(X) s.t. PxX=M，X>=0
很显然，这时候消费者的最优决策是把所有收入用完，且完全花在X上面。我们假定价格不变，即完全竞争市场假定。这时候X的最大购买量由预算式给出，Xmax＝M/Px。但是最优的X购买量则取决于效用函数本身的形状。有两种情况：
（1）如果效用函数的极大值点小于Xmax，则最优决策时，边际效用为零。
这时候效用函数是凹函数。
如果把吃饭饱定义为边际效用为零，当然，这时候可以说，既是吃饱了，又是符合理性选择的。
（2）如果效用函数的极值点等于 Xmax，则边际效用不为零，而是为正。这就是库恩塔克定理。这时候效用函数可以是凹函数，也可不是凹函数而是拟凹函数。
如果把吃饱定义为边际效用为零，那么这时候显然没有吃饱，但是这是因为预算约束所导致的，是收入不够所导致的，在非洲经常出现的饥荒就表明了这种情况。这时候是收入不够导致了不能够吃饱，而不是理性选择一定意味着吃不饱。
无论是上面哪种情况，都不存在着悖论。
2、两种商品的情况
消费者最优决策写成：
Max U=U(X,Y)
s.t. PxX+PyY=M，X>＝,Y>＝0
约束条件实际上设定了预算区域为一个三角形区域。
这时候问题又可以分为两种情况
（1）效用函数的驻点在预算区域内，即存在所谓魇足的情况。
首先我们假定效用函数存在驻点，这对应于单变量函数的第（1）种情况，即效用函数驻点小于预算所允许的最大值的情形。这种情况一般不是教科书分析的典型情况，因此一般读者可能不太熟悉，不过我们从数学的角度来看，是存在的。因此，消费者行为理论作为应用数学的一个例子，主要应该以数学分析为主，从数学上找出所有可能情况。
图3 效用函数的驻点在预算区域之内：效用函数是凹函数
如图所示，这时候效用最大化决策是内点解，消费者在达到效用最大化时，收入还没有花完，还有剩余。即最优解处于预算区域的内部，属于预算区域的内点，而不是在预算线上。这是真正的内点解。如果最优选择刚好在预算线上面，这称为边界解，它不是角点解，也不是内点解。
在效用函数的驻点处于预算区域的内部而不是边界上时，有约束最优解与无约束最优解的结果是一样的。达到最优消费组合时，每种商品的边际效用都等于零，而且当效用函数可微时，在最优点，效用函数沿各个方向的方向导数都等于零。这是因为效用函数在最优点的两个偏导数都等于零，从而它沿任何方向的方向导数都等于零。
当最优点是内部解时，从最优解出发，可以沿着任何方向进行调整，X与Y可以同时增加，也可以同时减小，也可以一个增加一个减小。
如果把吃饱定义为效用函数对于每个决策变量的边际效用（偏导数）为零，这种定义在效用函数的驻点在预算区域之内的情况下是符合理性选择的，这时候我们可以单独说每一种物品都吃饱了。即在最优解处，效用函数关于X的偏导数为零，因此我们可以说X吃饱了；在最优解处，效用函数关于Y的偏导数为零，因此我们也可以说Y吃饱了。这时候人们的理性选择即最优点，意味着人们对于每一种物品都吃饱了。
在这种定义下，我们可以不用考虑预算约束，直接只考虑消费目标即效用函数本身。也即，这时候，在数学上，有约束最值问题与无约束最值问题的解是一回事，有约束问题的解可以简化化无约束问题的解。这时候我们可以不考虑预算约束的影响，而直接考虑怎样“绝对地”在生理上吃饱。这种吃饱显然也是符合理性选择的。虽然我们把有约束情况下的最优选择定义为理性选择。
如果我们把吃饱定义为效用最大化决策对于每个决策变量的边际效用（不再是偏导数）为零，这种关于吃饱的定义在效用函数的驻点在预算区域之内的情况下也是符合理性选择的。由于最优点是预算区域的内点，因此在最优点，消费者可以向任何方向进行调整；因此当然消费者可以只增加某一种物品的消费量而不改变其它物品的消费量，即从最优点向X正方向调整与向Y轴正方向调整。这时候，在微量调整范围内，可以说X与Y的调整是相互独立的，也就是说，单独增加X消费一单位（或者一个微分量），可以不减少Y的消费，单独增加Y也一样。因此，此时效用最大化决策的边际效用与效用函数的边际效用是一回事情。
值得注意的是，效用函数的边际效用与效用最大化决策的边际效用在有多个物品的情形下并不是同一个概念。而通常的教材则并没有对此清楚地阐述，本文仔细研究这个问题，希望能够成为教材的补充。也希望这里的回答能够给许多经济学学生一个更加清晰的概念框架。
（2）效用函数的驻点在预算区域之外或者效用函数不存在驻点
这是通常教科书所分析的典型情况。效用函数的驻点在预算区域之外或者效用函数不存在驻点，在预算区域内的决策是完全一样。
这时候的最优解通常是在预算线取得。当然也可能存在角点解。但我们这里不考虑角点解情况，对于角点解情况，大家很容易进行举一反三地分析。
下面先画出图形，下面第一个图形是效用函数的驻点在预算区域之外的情况，第二个图形是不存在驻点的情况。
脊线 脊线 效用函数驻点 图4 效用函数的驻点在预算区域之外：效用函数是凹函数 最优选择
最优选择 图5 效用函数不存在驻点：效用函数是拟凹函数但可以不是凹函数，当然也可以是凹函数，都没有关系 当然也可是凹函数
无论哪种情况，最优解都是在预算线上取得。这是一种边界解，也是内点解，但不是角点解。角点解指至少某一决策变量取其可能取值的最大值或最小值。内点解指所有决策变量的最优取值都是取其最大可能取值与最小可能取值之间的中间值。而边界解指最优解处于可行区域的边界点。内部解指最优解是可行区域的内点。内点解与角点解的定义基于某一个决策变量，而边界解与内部解则基于决策向量的可行区域。
根据通常的教科书，此时最优决策意味着
MUx/Px=MUy/Py=λ
其中边际效用与价格之比通常被称为货币的边际效用。楼主的疑问正是基于这个公式。
其实这个公式确实有些问题，主要是定义的问题。我们前面已经提到过，在多个物品的情况下，效用函数的边际效用与效用最大化决策的边际效用不是一回事情。我们应该严格区别效用函数的边际效用与效用最大化决策的边际效用。
下面我们详细定义效用函数的边际效用与消费者效用最大化决策的边际效用。
效用函数的边际效用是一个经济学概念，实际上是函数的偏导数在离散与连续情形下的一般化。在连续情形下，可以视之为偏导数。效用函数的边际效用概念可以不考虑在实际的效用最大化决策中的预算约束条件。
效用最大化决策中每一个决策变量的边际效用却是指每一个决策变量在增加最后一单位时，所引起的决策目标值即效用的增加。在效用最大化决策中考虑边际效用时，必须考虑到约束条件是否真正地起作用。前面在分析效用函数的驻点在预算约束之内时，已指出，那时候预算约束对于求解最优解实际上不起作用。但是无论预算约束是否起作用，我们在考虑效用最大化决策的边际效用时，必须以整个决策模型或数学规划模型为前提，不能够只考虑效用函数本身。
效用最大化决策的边际效用概念本质上是一个属于数学规划的概念，它针对的是效用最大化决策，而不仅仅针对效用函数本身。或者说，效用最大化决策的边际效用这个概念是消费者的效用最大化决策的一个属性，而不是目标函数——效用函数的一个属性。相反，效用函数的边际效用这个概念却只是针对效用函数本身，与消费者的效用最大化决策无关。
既然“决策变量在最优化决策中的边际效用”这个概念针对的是消费者的效用最大化决策而不仅仅是针对效用函数本身，因此这个边际效用必须要考虑预算约束，而效用函数的边际效用则不必考虑预算约束。虽然我们的教材讲到边际效用时只是讲到“物品在效用函数中的边际效用”，而没有考虑到“物品在效用最大化决策中的边际效用”，但是我们作为经济学学生与研究者，则必须要清楚地考虑这些问题。
Max U=U(X,Y) s.t. PxX+PyY=M X>=0,Y>=0 效用函数U=U(X,Y) 物品X、Y在效用最大化决策中的边际效用（边际目标值）：表示决策变量X或Y增加最后一单位，对于决策目标值的影响 物品X、Y在效用函数中的边际效用：表示函数自变量X或Y增加最后一单位，对于函数值的影响 图6 “效用最大化决策的边际效用”与“效用函数的边际效用”的区别
在效用函数的驻点位于预算约束区域之内时，效用最大化决策的边际效用与效用函数的边际效用的区别确实没有必要，但是在最优选择是预算线上的一点的情况下，这种区别就尤其重要了。
在通常的教材中所写的MUx/Px=MUy/Py=λ
其中的边际效用实际上是指效用函数的边际效用，而不是指效用最大化决策的边际效用。
在预算线上，X在效用函数中的边际效用是指，X沿着X正方向调整一单位时，对于效用函数的增加量。显然，这根本可以不受预算约束的影响。
在预算线上，X在效用最大化决策中的边际效用是指，X增加一单位所引起的决策目标的改变值。而我们知道，这时候由于最优点处于预算线上，增加一单位X必须以减少Y为代价。因此，在这个有约束的数学规划决策中，增加一单位X的边际效用（或者边际目标值，边际目标值这个概念适合于任何数学规划，笔者在运筹学教学中一直以边际目标值来称呼，可能与通常教材称呼不同），不仅要计算增加一单位X所带来的效用增加，而且要计算因此而带来的Y的减少而引起的Y所带来的效用的减少，把这两方面合在一起，才是增加一单位X所带来的边际效用，即最优化决策的边际效用。
我们知道，增加一单位X，对于效用目标的直接影响是增加效用MUx，但是不得不减少在Y上的购买金额为Px元，即不得不减少Px/Py这么多的Y的消费，而我们假定每单位Y的效用仍然是MUy，这样一来，增加一单位X，就不得不减少Px/Py单位Y所带来的效用水平MUy*Px/Py，因此增加一单位X所带来的最大化决策的边际效用为：
MUxdm=MUx－MUy*Px/Py
这就是当决策变量X在预算线上调整时，所带来的在决策中的边际效用。其中下标dm表示决策decision making。
同理，决策变量Y在预算线上调整时，所带来的在决策中的边际效用为
MUydm=MUy－MUx*Py/Px
在达到最优选择时，由于MUx/Px=MUy/Py=λ
因此，MUxdm= MUx－MUy*Px/Py=0
即在决策达到最优时，物品X在决策中的边际效用为零。同理可证，物品Y在决策中的边际效用为零。
因此，如果把吃饱某物品定义为某物品在消费者的效用最大化决策中的边际效用为零，则我们可以说，最优决策将导致对每一物品吃饱。
但是如果我们把吃饱只是定义为某物品在效用函数中的边际效用为零，那么显然我们可以看到，在达到最优选择时，MUx与MUy都不为零，即这时候理性选择对应于没有吃饭任何一种物品。
因此，本文回答了楼主提出的这一个看似悖论的难题，其实质在于如何定义什么是吃饱。
结论：
如果把吃饱定义为某物品在消费者的效用最大化决策中的边际效用为零，那么在达到最优选择时，人们是吃饱了的。
如果把吃饱定义为某物品在效用函数中的边际效用为零，那么在达到最成选择时，人们可能吃饱（在效用函数的驻点位于预算约束线之内或者说效用函数的极大值点是预算区域的内点）也可能没有吃饱（在效用函数没有驻点或者驻点在预算区域之外时）。
具体内容参见上面的下载文章。
我认为，楼主提出的问题的本质可以按照如下的思路得到解决。
首先，我们得必须区分物品在效用函数中的边际效用与物品在消费者的效用最大化决策中的边际效用。而吃饱确实可以认为是边际效用为零，但是我们得定义到底是哪一个边际效用为零。
下面我们详细定义效用函数的边际效用与消费者效用最大化决策的边际效用。
效用函数的边际效用是一个经济学概念，实际上是函数的偏导数在离散与连续情形下的一般化。在连续情形下，可以视之为偏导数。效用函数的边际效用概念可以不考虑在实际的效用最大化决策中的预算约束条件。
效用最大化决策中每一个决策变量的边际效用却是指每一个决策变量在增加最后一单位时，所引起的决策目标值即效用的增加。在效用最大化决策中考虑边际效用时，必须考虑到约束条件是否真正地起作用。前面在分析效用函数的驻点在预算约束之内时，已指出，那时候预算约束对于求解最优解实际上不起作用。但是无论预算约束是否起作用，我们在考虑效用最大化决策的边际效用时，必须以整个决策模型或数学规划模型为前提，不能够只考虑效用函数本身。
效用最大化决策的边际效用概念本质上是一个属于数学规划的概念，它针对的是效用最大化决策，而不仅仅针对效用函数本身。或者说，效用最大化决策的边际效用这个概念是消费者的效用最大化决策的一个属性，而不是目标函数——效用函数的一个属性。相反，效用函数的边际效用这个概念却只是针对效用函数本身，与消费者的效用最大化决策无关。
既然“决策变量在最优化决策中的边际效用”这个概念针对的是消费者的效用最大化决策而不仅仅是针对效用函数本身，因此这个边际效用必须要考虑预算约束，而效用函数的边际效用则不必考虑预算约束。虽然我们的教材讲到边际效用时只是讲到“物品在效用函数中的边际效用”，而没有考虑到“物品在效用最大化决策中的边际效用”，但是我们作为经济学学生与研究者，则必须要清楚地考虑这些问题。
在效用函数的驻点位于预算约束区域之内时，效用最大化决策的边际效用与效用函数的边际效用的区别确实没有必要，但是在最优选择是预算线上的一点的情况下，这种区别就尤其重要了。
在通常的教材中所写的MUx/Px=MUy/Py=λ
其中的边际效用实际上是指效用函数的边际效用，而不是指效用最大化决策的边际效用。
在预算线上，X在效用函数中的边际效用是指，X沿着X正方向调整一单位时，对于效用函数的增加量。显然，这根本可以不受预算约束的影响。
在预算线上，X在效用最大化决策中的边际效用是指，X增加一单位所引起的决策目标的改变值。而我们知道，这时候由于最优点处于预算线上，增加一单位X必须以减少Y为代价。因此，在这个有约束的数学规划决策中，增加一单位X的边际效用（或者边际目标值，边际目标值这个概念适合于任何数学规划，笔者在运筹学教学中一直以边际目标值来称呼，可能与通常教材称呼不同），不仅要计算增加一单位X所带来的效用增加，而且要计算因此而带来的Y的减少而引起的Y所带来的效用的减少，把这两方面合在一起，才是增加一单位X所带来的边际效用，即最优化决策的边际效用。
我们知道，增加一单位X，对于效用目标的直接影响是增加效用MUx，但是不得不减少在Y上的购买金额为Px元，即不得不减少Px/Py这么多的Y的消费，而我们假定每单位Y的效用仍然是MUy，这样一来，增加一单位X，就不得不减少Px/Py单位Y所带来的效用水平MUy*Px/Py，因此增加一单位X所带来的最大化决策的边际效用为：
MUxdm=MUx－MUy*Px/Py
这就是当决策变量X在预算线上调整时，所带来的在决策中的边际效用。其中下标dm表示决策decision making。
同理，决策变量Y在预算线上调整时，所带来的在决策中的边际效用为
MUydm=MUy－MUx*Py/Px
或者说，在预算线上，增加一单位X所带来的决策的边际效用实际上对于决策目标——效用函数——而言将是一个在预算线方向上的方向导数而不仅仅是效用函数的偏导数。关于方向导数的概念参见数学分析教材。
在达到最优选择时，由于MUx/Px=MUy/Py=λ
因此，MUxdm= MUx－MUy*Px/Py=0
即在决策达到最优时，物品X在决策中的边际效用为零。同理可证，物品Y在决策中的边际效用为零。
因此，如果把吃饱某物品定义为某物品在消费者的效用最大化决策中的边际效用为零，则我们可以说，最优决策将导致对每一物品吃饱。
但是如果我们把吃饱只是定义为某物品在效用函数中的边际效用为零，那么显然我们可以看到，在达到最优选择时，MUx与MUy都不为零，即这时候理性选择对应于没有吃饭任何一种物品。
因此，本文回答了楼主提出的这一个看似悖论的难题，其实质在于如何定义什么是吃饱。
结论：
如果把吃饱定义为某物品在消费者的效用最大化决策中的边际效用为零，那么在达到最优选择时，人们是吃饱了的。
如果把吃饱定义为某物品在效用函数中的边际效用为零，那么在达到最成选择时，人们可能吃饱（在效用函数的驻点位于预算约束线之内或者说效用函数的极大值点是预算区域的内点）也可能没有吃饱（在效用函数没有驻点或者驻点在预算区域之外时）。
1、概念的说明
（1）吃饭是要花钱的，且钱的效用大于0；
（2）在市场经济条件下；
（3）吃饱时，TU最大，MU=0；这应是共识吧.
2、不能吃饱的证明：
假定只购买一种食品吃，按经济学理论，最优购买量是MU=lP>0,若你购买到吃饱时才不买,则MP=0<lP, 你就不是理性经济人了.如果是理性经济人,你就不能吃饱.
若你购买的是一种以上的商品，则最优购买量按经济学理论应满足MU1/P1=MU2/P2>0的要求.当然也不能吃饱,否则,同样是不理性的了.
请大家批驳,看我的看法在哪里错了!
详细内容见上述下载文件。
我们必须要区分物品在效用函数中的边际效用与物品在消费者的效用最大化决策中的边际效用这两个不同的概念。而吃饱确实可以认为是边际效用为零，但是吃饱到底是定义成效用函数的边际为零好呢，还是定义成效用最大化决策的边际效用为零呢？
笔者倾向于从维护主流经济学基本分析框架的角度，认为把吃饱定义为效用最大化决策的边际效用为零最好，这样就能够把结论统一为：在达到最优选择时，边际效用为零，这时候人们对于所有物品都吃饱了。
下面我们详细定义效用函数的边际效用与消费者效用最大化决策的边际效用。
效用函数的边际效用是一个经济学概念，实际上是函数的偏导数在离散与连续情形下的一般化。在连续情形下，可以视之为偏导数。效用函数的边际效用概念可以不考虑在实际的效用最大化决策中的预算约束条件。
效用最大化决策中每一个决策变量的边际效用却是指每一个决策变量在增加最后一单位时，所引起的决策目标值即效用的增加。在效用最大化决策中考虑边际效用时，必须考虑到约束条件是否真正地起作用。前面在分析效用函数的驻点在预算约束之内时，已指出，那时候预算约束对于求解最优解实际上不起作用。但是无论预算约束是否起作用，我们在考虑效用最大化决策的边际效用时，必须以整个决策模型或数学规划模型为前提，不能够只考虑效用函数本身。
效用最大化决策的边际效用概念本质上是一个属于数学规划的概念，它针对的是效用最大化决策，而不仅仅针对效用函数本身。或者说，效用最大化决策的边际效用这个概念是消费者的效用最大化决策的一个属性，而不是目标函数——效用函数的一个属性。相反，效用函数的边际效用这个概念却只是针对效用函数本身，与消费者的效用最大化决策无关。
既然“决策变量在最优化决策中的边际效用”这个概念针对的是消费者的效用最大化决策而不仅仅是针对效用函数本身，因此这个边际效用必须要考虑预算约束，而效用函数的边际效用则不必考虑预算约束。虽然我们的教材讲到边际效用时只是讲到“物品在效用函数中的边际效用”，而没有考虑到“物品在效用最大化决策中的边际效用”，但是我们作为经济学学生与研究者，则必须要清楚地考虑这些问题。
在效用函数的驻点位于预算约束区域之内时，效用最大化决策的边际效用与效用函数的边际效用的区别确实没有必要，但是在最优选择是预算线上的一点的情况下，这种区别就尤其重要了。
在通常的教材中所写的MUx/Px=MUy/Py=λ
其中的边际效用实际上是指效用函数的边际效用，而不是指效用最大化决策的边际效用。
在预算线上，X在效用函数中的边际效用是指，X沿着X正方向调整一单位时，对于效用函数的增加量。显然，这根本可以不受预算约束的影响。
在预算线上，X在效用最大化决策中的边际效用是指，X增加一单位所引起的决策目标的改变值。而我们知道，这时候由于最优点处于预算线上，增加一单位X必须以减少Y为代价。因此，在这个有约束的数学规划决策中，增加一单位X的边际效用（或者边际目标值，边际目标值这个概念适合于任何数学规划，笔者在运筹学教学中一直以边际目标值来称呼，可能与通常教材称呼不同），不仅要计算增加一单位X所带来的效用增加，而且要计算因此而带来的Y的减少而引起的Y所带来的效用的减少，把这两方面合在一起，才是增加一单位X所带来的边际效用，即最优化决策的边际效用。
我们知道，增加一单位X，对于效用目标的直接影响是增加效用MUx，但是不得不减少在Y上的购买金额为Px元，即不得不减少Px/Py这么多的Y的消费，而我们假定每单位Y的效用仍然是MUy，这样一来，增加一单位X，就不得不减少Px/Py单位Y所带来的效用水平MUy*Px/Py，因此增加一单位X所带来的最大化决策的边际效用为：
MUxdm=MUx－MUy*Px/Py
这就是当决策变量X在预算线上调整时，所带来的在决策中的边际效用。其中下标dm表示决策decision making。
同理，决策变量Y在预算线上调整时，所带来的在决策中的边际效用为
MUydm=MUy－MUx*Py/Px
或者说，在预算线上，增加一单位X所带来的决策的边际效用实际上对于决策目标——效用函数——而言将是一个在预算线方向上的方向导数而不仅仅是效用函数的偏导数。关于方向导数的概念参见数学分析教材。
在达到最优选择时，由于MUx/Px=MUy/Py=λ
因此，MUxdm= MUx－MUy*Px/Py=0
即在决策达到最优时，物品X在决策中的边际效用为零。同理可证，物品Y在决策中的边际效用为零。
因此，如果把吃饱某物品定义为某物品在消费者的效用最大化决策中的边际效用为零，则我们可以说，最优决策将导致对每一物品吃饱。
但是如果我们把吃饱只是定义为某物品在效用函数中的边际效用为零，那么显然我们可以看到，在达到最优选择时，MUx与MUy都不为零，即这时候理性选择对应于没有吃饭任何一种物品。
因此，本文回答了楼主提出的这一个看似悖论的难题，其实质在于如何定义什么是吃饱。
结论：
如果把吃饱定义为某物品在消费者的效用最大化决策中的边际效用为零，那么在达到最优选择时，人们是吃饱了的。
如果把吃饱定义为某物品在效用函数中的边际效用为零，那么在达到最成选择时，人们可能吃饱（在效用函数的驻点位于预算约束线之内或者说效用函数的极大值点是预算区域的内点）也可能没有吃饱（在效用函数没有驻点或者驻点在预算区域之外时）。
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