Black Scholes 中对于波动率为常数的假设使得BS模型不是self consistent。因为volatility smile 的出现使得BS模型在hedging以及pricing 多strike的exotic option方面显得有所不足。因此人们开始探索新的模型。其中较为成功的一类模型为stochastic volatility model。此类模型对于data的fit能力比较强也非常flexible，用此类模型进行hedging效果也比较好。

最早的SV(stochastic volatility) 模型是由John Hull 和White在1987年提出的Hull-White SV model。SV通常由一个price equation和一个volatility equation 组成，因此也可以看成是一个state space model。即price是由一个latent的state variable——volatility驱动的。Hull-White模型假设volatility和underlying asset price之间没有相关性。因此该模型下option的pricing变得相对来说比较简单。即我可以conditional on 一个whole volatility的path (V=1/T∫(0 to T)sigma(t)^2dt) 对于price 求expectation，然后再把所有的volatility的path取expecation求average。即可得到option的price。这是他们论文比较重要以及漂亮的结论。

最为著名的SV 模型要属Heston (1993)的模型。和Hull-White 假设volatility满足GBM不同，Heston的模型用CIR process来model volatility，这样更加贴近现实，因为volatility一般表现出无drift，以及mean reversion的性质，比较类似interest rate。另一个重大假设是Heston引入了price和volatility之间的相关性rho，因此可以来model smile的skew。但是因为有了相关性，使得pricing的问题瞬间艰难了很多。Heston用了一个很巧妙的方法。首先他猜想pricing的fomula和BS很像，因为BS模型理论上只是SV的一个特殊的case，于是可以得到C=S*P1-K*exp(-rT)*P2(利率可以是随机的，假设常数只是为了不lose big picture). 接下来的工作就是确定概率P1和P2，将C带入Heston模型下的PDE，分离变量之后可以得到P1和P2分别满足的两个PDE。为了解这两个PDE，Heston第一次在finance领域用了fourier 变换，通过求解概率P1和P2的特征函数，在frequency domain 里得到了P1和P2的close form solution，再利用fourier逆变换得到在time domain里的解。Heston的模型毫无疑问，其想法和解法都是非常值得借鉴的，虽然模型看上去很复杂，但是他解的过程和结果却非常简洁漂亮。因此是一款经典的SV 模型

时间到了2002年，在业界新兴起了一个模型：SABR模型。他也是Stochastic volatility 模型，不一样的是他直接建立在forward mearsure下，并且model的是forward price。和Hull-White模型相似，他假设volatility是lognormal的，不一样的地方是他在price方程里面加入了CEV模型。这样就显得非常有意思，现在volatility有两部分组成，一部分是CEV的predictable的part，而另一部分是SV的stochastic的part。这个model 对于smile的fit和hedging的效果都比较好，但是解极其复杂，且是有限阶的approximation。在业界非常流行，但是由于参数比较多，且互相之间有隐含关联，使得有些参数例如beta的估计和经济含义难以得到有效的解释，以及存在近似解的准确性等问题，因此也有不少需要改进的地方。

附上3个model的原文：