A与B关于此题目的对话
A: 甲与乙在0~100元中同时喊价一个数，设甲的叫价为X，乙的叫价为Y。若X>Y，则甲得100元，乙得0元；反之，若X<Y，则乙得100元，甲得0元；若X=Y，甲、乙各得0元。
每次叫价，甲、乙都必须付出自己喊的钱数X和Y。试求甲、乙二人的收益函数；你认为他们各自的最优策略是什么？为什么？
B: 容我想想。第一感觉是这题比较像书上的题目，可能不太容易第一眼抓住人的眼球。题目很有趣，但是问题比较专业～我再仔细思考一下～thanks anyway
A: 可以把“试求甲、乙二人的收益函数”去掉。
B: 你有这题的答案么？刚思考了下，这题的问法应该是问Nash Equilibrium才对的吧，最优策略如果对方选100，那么自己选0，否则自己选大于对方一点点的数~问best response的话感觉没有问equilibrium有意思诶~
其实这种题目我更倾向于来一场实战~让大家亲身参与进来~另外，题目稍有歧义，喊出的是否限定为整数是需要指出的。
这个题如果纯粹提问的话（例如作为每周一题），可能难度过大，根据本版的回复质量，我感觉能答上来的人、甚至沾边的人都不多诶~可以考虑作为难度题，如果前面几期大家表现挺好，可以在后面的时候放出，你看如何？
A: 一切由领导决定！
喊出的是否限定为整数？——为简单起见，可以限定为整数。
其实，这就是一个逻辑题，无需穷举。
观察甲、乙二人的收益函数，就能大致看出答案了。
请您先写出二人的收益函数，答案就大致在其中了。
B: 征稿要求：
2. 带有比较成熟的参考答案，或者相关reference。
投稿请自带答案噢～
A: 设R1表甲收益，R2表乙收益，X,Y∈[0,100]
收益函数为：
R1=100-X，X＞Y
R1=-X，X≤Y
R2=100-Y，X＜Y
R2=-Y，X≥Y
分析收益函数可见，仅当X=Y时才能达成均衡，且当X=Y=0时收益最高，所以他们的最优策略是都喊0元。
解释可有多种，结果只有一个。
如：因为甲、乙都想得到最大的收益，甲希望的是X>Y，乙希望的是Y>X，但是不可能同时满足这个条件，而2人都是理性的，所以只有当X=Y时达到均衡，且双方叫价为0收益最大，否则收益一定为负。
又如：甲出价为X，乙出价为Y。
假定甲给定一个X，那么乙选择的Y落在0到X的范围内的概率是X/101，落在X到100的范围内的概率为(101－X)/101。
X>Y时，则甲的收益为100－X。该收益发生的概率为X/101；X=<Y时，则甲的收益为－X。该收益发生的概率为(101-X)/101。
那么甲的收益期望值为P=(100-X)*X/101+(-X)*(101-X)/101=-X/101。
同理可得，乙的总效用函数P=-Y/101。减函数，所以应该出0。
再如：……
B: 这题是没有纯策略均衡的。如果X=Y=0，为什么我不出X=1呢？那样我的payoff就是100-1了。所以这题可以写best response，但是没有纯策略均衡的。
所以这题在我看来就像是石头剪子布，最终会到达一个循环。
1.当x,y都没有到100的时候，每个人总会想着超过另一个人的bid。
2.当有人超到了100的时候，另一个人发现无法超过了，这时候出0就是best response.
3.当出100的人发现另一个人出0了，他的best response又成了出一个比0大一点的数。
然后又循环到1了。
这也说明了为什么没有纯策略的均衡了，没有一个stable的状态以及策略。
A: 这是一个静态博弈，每人只有一次出价机会。如果说有循环，那也是出价前在各自头脑中循环。虽然不存在纳什均衡，却有稳定的逻辑结果——0，这是风险使然。
B: 敢问逻辑结果是什么概念？不存在Nash Equilibrium, 那么这个逻辑结果对应的是什么概念？还没有见到哪个概念可以对应这个逻辑结果的。
所谓的best response, 也是对手strategy的一个function，best response的不动点就是solution （pure Nash），而这个game是没有这样的不动点的。所以0 0 似乎没有什么特殊含义，和1 1以及任何结果一样，都是off equilibrium的strategy
“分析收益函数可见，仅当X=Y时才能达成均衡” 这句怎么解释？为什么x=y的时候达到均衡，什么是均衡？
这句貌似逻辑上说不过去
A: x=y是双方唯一都能接受的。其他结果只是一厢情愿，也就无法达到均衡。
B: x=y不是双方都能接受的噢。哪里的分析可以得出“双方都能接受”x=y?接受的意思是什么？
若x=y=50，那么对于x，往下我可以取0，这样我的payoff是0而不是-50，往上我可以取51这样我的payoff是49而不是-50.不管怎么样，x=y=50都不是可以“接受”的。
类似，即使x=y=0，那么x为何不取1而取0，从而获得99的payoff呢？
A: 我没有说（0，0）是纳什均衡，前面已经说“虽然不存在纳什均衡，却有稳定的结果——选0，这是风险使然”。
B: 噢，我们出题的意图看的还是theory，而不是看的behaviour。您所谓的，稳定的结果，风险使然，有没有对应的理论支持呢？
当然，现实game和理论的结果可能会有出入，但是0，0也只能说代表了一部分人的选择，不同risk attitude的人的选择是不一样的。如果研究behavior上什么是对的，这就是说不清的事情了。您觉得选0最保险，有些人还觉得选1如果输了也只损失1块，而赢了能赢100呢~
您所谓的0,0是“风险使然”，是不是基于minimax strategy？从这个角度上看，0,0可以作为Minimax strategy。但是我同样不赞同behaviorly，人们都会play 0,0。因为没有证据表明，所有的人都prefer一个“一定是0”的strategy，与一个“有可能得100 payoff”的strategy（比如play1）。选0，相当于加了risk averse，并且程度很厉害的这样的假设。
A: 所以我说这是一个逻辑问题。我们都是理性人，您能想到的我也都能想到。这是讨论问题的前提。如果您觉得选1如果输了也只损失1块，而赢了能赢100，那别人也同样会有此想法，甚至会选择2，所以您别想赢。别假设您比别人聪明。
B: 这不是谁聪明的问题，可以认为是不同risk attitude的人的选择不同。
选0确实风险最低，但是也意味着没有任何获得正收益的可能性。
您是如何得出，您能想到的我也能想到，所以我们就都要选0了呢？因为风险最低？
那我们play game的目标，也并不是风险最低吧。。。看一个strategy是不是optimal，看的是payoff，而不是risk吧。
我同意这样的观点：选0是最保守的方法，对于risk averse的人来说是optimal strategy，或者说，这是一个Minimax strategy。
但是，1.这不是一个NE（这点你也同意） 2.我们没有理由说明，人们会这样behave。因为还没什么理论保证人们都是玩minimax的吧~您说，如果我们玩一局，可能我会选0.但是这也只是代表了一种人，您同意么？
A: 设R1表甲收益，R2表乙收益，X,Y∈[0,100]
收益函数为：
R1=100-X，X＞Y
R1=-X，X≤Y
R2=100-Y，X＜Y
R2=-Y，X≥Y
这个收益函数您是否有异议？如果没有，那么当X=Y=0时各自的收益最高，所以他们的最优策略是都喊0元，没有问题吧？
因为我们都是理性的，所以您能想到的我也能想到，所以我们就都要选0。
B: payoff function没有异议。x=y=0时为何各自收益最高，请解释given y=0, x=0的收益对于甲来说不是最高的。同理，对于x=0, y=0对于乙来说收益也不是最高的。
那么，收益最高指的是？
您所说的思路我能部分理解，处于safe或者您说的风险考虑，0,0看起来好像是个诱人的选择。但是，那也是基于minimax思想的。而所谓的最优策略，或者对结果的prediction，一般都是直接基于payoff function的，而不是基于payoff function的min。
A: R1=100-X，X＞Y——X=0,R1最大
R1=-X，X≤Y——X=0,R1最大
R2=100-Y，X＜Y——Y=0,R2最大
R2=-Y，X≥Y——Y=0,R2最大
只有这些情况了吧？
B: 对于1和3，Y=0和X=0时，不等号都不可能成立。。。
这也就是我说的，选0的时候放弃了赢的可能性。永远不可能出现100-X的payoff
对于2和4，既然要输，那当然选0最合适了。但是1和3的时候，选0不可能赢的。。。
A: 的确如此，当X≠Y时，答案是X→0或Y→0。
B: 是的，但是不可能是x=0或者Y=0
A: 对于这个题目，您现在可以给出答案了吗？
别告诉我无解循环啊。
B: 就是循环啊。就像是石头剪刀布，这样循环下去的结果就是没有pure strategy NE
因为所有的结果都有deviate的动机，所以只能让自己unpredictable。如果研究这个题目的mix strategy NE (根据定理应该是存在的），将会更加有意思和难度～当然，只考虑pure的话，结果就是not exist
A: 那我们再看看这个解释有什么问题：
甲出价为X，乙出价为Y。
假定甲给定一个X，那么乙选择的Y落在0到X的范围内的概率是X/101，落在X到100的范围内的概率为(101－X)/101。
X>Y时，则甲的收益为100－X。该收益发生的概率为X/101；X<=Y时，则甲的收益为－X。该收益发生的概率为(101-X)/101。
那么甲的收益期望值为P=(100-X)*X/101+(-X)*(101-X)/101=-X/101。
同理可得，乙的总效用函数P=-Y/101。为减函数，所以应该出0。
B: 这是belief的问题。问题出在，Y落在0到X的不是uniform的distribution。因为这不是Y的策略。
如果举一个更极端的例子，我作为X就认定了Y一定会选0，那么此时1就是最好的策略。同理，如果我认定Y一定选1，那么2就是最好的策略。成为equilibrium的条件式，belief要是correct的！也就是说，x对y的belief和y实际采取的（mixed）的策略，必须要是一致的。
并不是任意一个belief justify了我的选择，那么我就能安心的选这个结果了～所以还是要“两厢情愿”。
我的belief（或者说我计算我期望效用的概率）要和你的实际策略相符。你的belief也和我的策略相符。
同时在这种情况下，我和你的strategy的payoff还都是最大的，这样才能构成一个均衡
A: 是啊，概率可能不是均匀分布的。
这种说法有问题吗？——因为甲、乙都想得到最大的收益，甲希望的是X>Y，乙希望的是Y>X，但是不可能同时满足这个条件，而2人都是理性的，所以只有当X=Y时达到均衡，且双方叫价为0收益最大，否则收益一定为负。
B: “所以”的依据是？X=Y不是均衡，never是。不能说我想比你高，你想比我高，那么我俩一样高就是最好的结果啊～因为这个问题很残酷，我比你高或者你比我高，至少有一个人得100，而我们相同得结果会是0.
理性，是得不到x=y得结果的。所谓的理性，大概指的是效用最大化。一般我们考虑的是理性＋信息（common knowledge）。这两个前提条件都得不出x=y的结果的啦～
A: 您说：“就是循环啊。就像是石头剪刀布，这样循环下去的结果就是没有pure strategy NE”，问题是您只有一次选择机会，如何循环？
（0，0）的确不满足纳什均衡的定义，但当您只有一次出价机会时，您会在[0，100]中做何选择？为什么？
B: 循环的意思可以理解为双方无法达到共识，没有一个稳定的状态。
NE只是理论上的solution concept，但是实际上人们未必会表现出play NE。就像物理学告诉我们推一下，这个东西就应该一直直线运动下去，但是事实上很难/不可能发生。
如果要讨论solution concept的话（或者说理性人“应该”）如何选择的话，那就会使用mixed strategy了，就像石头剪刀布里面，1/3 1/3 1/3的概率。这里构造mixed strategy我还没有细想，但是毋庸置疑，均衡状态就是mixed的。
至于人们“会”如何play，这是behaviour上面的东西，也是研究的难点。game theory只是告诉我们，理论上的optimal，或者说should play.
behavior上更像是 will play
如果您还是想问我会如何选择，我会给以下几个选择：
如果我心情好，想表现得最优，那么我会根据理论上得mixed来play（但是实行上仍然有难度）
如果我十分保守，害怕亏钱（特别是给定一定的ndowment），那么我可能会选0.
或者，我就是喜欢3这个数字，那么我选择出3.
真正要预测人的行为很难得，只能说，理论上说，最Optimal的选择（基于期望效用）就是mixed strategy（第一种）。其他的选择也是可能的。
可以理解为，"理论"告诉我们要天天学习，不要玩游戏，不要xxx。但是"实际上"，有人会这么做，但是有人完全不这么做，有人部分这么做～
A: 您所说的混合策略纳什均衡是怎样的呢？纳什说纯策略均衡不一定有，但混合策略均衡总是存在的。
至于您说的明知学习重要，却不肯放弃玩耍，那是理性不足的表现。博弈论的研究前提是所有局中人都是理性的。非理性的行为，要放到行为博弈中去讨论了。这是两个不同的体系。
您说:"我就是喜欢3这个数字，那么我选择出3."请问这是一个理性人的行为吗?
您的意见对我有启发，谢谢您！只是还觉得不过瘾，仍然没有从根本上扭转我对(0,0)的偏好。我之所以提供这个题目来讨论，就是因为(0,0)不符合纳什均衡的定义，却被理性人选择，具有稳定性，也许博弈论无法解释，而要用风险理论或其他什么理论来解释。我一直不能理直气壮地、完美地解释它。
B: 可以这样认为：理性人假设是maximize他自己的utility的。那么我们传统的utility都是期望效用、期望收益，这也是nash equilibrium所采取、关注的payoff。0，0是另一个概念（minimax），在这种情况下，其实关注的是自己收益的最小值。如果自己是理性的＋关注的utility是收益的最小值（而不是收益本身），那么0，0就是理论预计的答案了。
混合策略容我想想。
混合策略在离散情况下并不复杂。不知道您熟不熟悉混合策略的解法（比如一个2x2，或者3x3的game）。如果熟悉的话，那就好办了：把他们的strategy列成101X101的矩阵，每个格子里填上对应的payoff。
比如第一行0,0 0,99 0,98 .... 0,0
第二行 99,0 -1,-1 -1,98, ... -1,0
一直写满整个101X101的矩阵，然后想当于转换成100个未知数，100个方程的方程组，就可以解出每个策略的p_i了。这也是解一般Mixed strategy的方法。如果您乐意自己动手，可以编程算一下。如果只是要结果，我也可以offer一个程序
连续情况，可以参考all pay auction的equilibrium，其中v_a v_b都是100.
A: 混合策略的思想我可以接受（此前我们讨论的是纯策略），编程我恐怕难以胜任，请您把程序发给我：
whe58@sina.com，我抽空算算。您的程序不会是Gambit.exe吧？此程序我有
https://bbs.pinggu.org/thread-2126359-1-1.html。
B: 不是啊。我的意思是随便写个程序啊。。。你那有什么语言？matlab或者R都可以写一个
A: 那我还是用Gambit.exe吧。这可是一个有101个元素的概率集合啊！而且两人的混合策略完全一样。
我一直考虑纯策略，是您提醒了我可以考虑混合策略。但混合策略在现实中操作性将大打折扣。
B: 是的。我已经说过啦，这个game不存在纯策略均衡，只有混合策略的。所以对现实的prediction效果不好，尤其是1 shot game。
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