Advanced Calculus
A Geometric View


James J. Callahan

   USA        Editorial Board S. Axler     K.A. Ribet Mathematics Department University of California at Berkeley San Francisco, CA 94132    Berkeley, CA 94720-3840 USA     USA axler@sfsu.edu    ribet@math.berkeley.edu  Smith CollegeDepartment of Mathematics and Statistics San Francisco State University  Northampton, MA 01063Mathematics Department  callahan@math.smith.edu James J. Callahan

Contents1 Starting Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Work and path integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Polar coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Geometry of Linear Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.1 Maps from R2 to R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Maps from Rn to Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3 Maps from Rn to Rp, n = p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573 Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.1 Mean-value theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.2 Taylor polynomials in one variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.3 Taylor polynomials in several variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004 The Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.1 Differentiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.2 Maps of the plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.3 Parametrized surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.4 The chain rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415 Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.1 Solving equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.2 Coordinate changes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.3 The inverse function theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1766 Implicit Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1856.1 A single equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1856.2 A pair of equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986.3 The general case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2157 Critical Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2197.1 Functions of one variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2197.2 Functions of two variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2247.3 Morse’s lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2658 Double Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2698.1 Example: gravitational attraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2698.2 Area and Jordan content . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2768.3 Riemann and Darbou integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3139 Evaluating Double Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3179.1 Iterated integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3179.2 Improper integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3269.3 The change of variables formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3379.4 Orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3539.5 Green’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37810 Surface Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38710.1 Measuring flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38710.2 Surface area and scalar integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40510.3 Differential forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44311 Stokes’ Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44911.1 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44911.2 Circulation and vorticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46011.3 Stokes’ theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48211.4 Closed and exact forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517