三、相关系数的性质

定理：设ρxy是RV X,Y的相关系数，则有：|ρxy|≤1；|ρxy|=1 ó X,Y以概率1线性相关，即P(Y=ax+b)=1, P(Y≠ax+b)=1

注意：Y=Ax+b =>  |ρxy|=1

预备定理：柯西-许瓦兹不等式，V W是任意的RV，若E(V2)<+∞，E(W2)<+∞，则有E(VW)2≤E(V2)E(W2)等式成立，当且仅当P(V=t,W)=1

证明：造一个函数，U(t)=E(V+Tw)2=E(V2)+2tE(VW)+t2E(W2)≥0

, 得到E(VW)2≤E(W2)E(V2)

性质1：ρ2xy=E2[(X-EX)(Y-EY)]/[D(X)D(Y)]

令V=X-E(X), W=Y=E(Y)，式子变为：ρ2xy=[E2(VW)]/[E(V2)E(W2)],就是柯许不等式。

D(V)=D(X-EX)=D(X)+D(EX)=DX (1)

D(V)=E(V^2)-(E(V))^2， EV=E(X-EX)^2=0，得到DV=E(V^2)    (2)

由（1）,（2）得到：D(X)=E(V^2), 同理，D(Y)=E(W^2)

当U(t)=0时，U(t)=E(V+Tw)^2, 又E(V+Tw)=0, 所以EV=EW=0

D(V+tW)=0 ó P(V+tW=0)=1， P(V+tW≠0)=0，P(X-EX+t(Y-EY)=0)=1, P(Y=-X/t+EX/t+EY)=1

结论：当0<|ρxy|<1时，说明X,Y之间有或弱或强的线性关系；|ρxy |->1,线性关系越强；当0<ρxy->1是正相关关系，当0>ρxy->-1 负相关。|ρxy |->0时，线性关系较弱。

定义：若ρxy=0，称X,Y不相关（或者X,Y无关，有非线性关系或者其他关系。

X,Y独立，且DX,DY有限，则X,Y不相关；

反之，XY不相关，是否独立呢？

例：若X,Y在以o为中心，R为半径的圆上均匀分布，问X,Y是否独立？是否不相关？

解：(X,Y)~ f(x,y)=1/(ПR^2) x^2+y^2≤R^2, 0 其他。X~ fx(x)= , Y~ fY(y)=

fx(x)*fY(y)≠f(x.y)，因此不独立。

E(x,y)=

E(x)=

D(X)=E(X2)-(EX)2=E(X2)= , 同理D(Y)<+∞, COV(X,Y)=E(XY)-EXEY=E(XY)=0

因此X,Y不独立也不相关。

例：若Y=aX+b，证明ρ|xy|=1

证明： cov（X,Y）=E[(X-EX)(Y-EY)]

ρxy=cov(X,Y)/[D(X)^0.5*D(Y)^0.5]

EY=Aex+b

DY=D(ax+b)=a^2DX

Cov(X,Y)=E[(X-EX)(aX+b-E(aX+b))]=AE[(X-EX)^2]=a2D(X)

得到|ρxy|=|aD(X)/DX^0.5*|a|*DX^0.5|=1

例：设U=aX+b, V=Cx+d (a>0, c>0), 求证：ρxy=ρuv

E(U)=E(aX+b)=aE(X)+b

D(U)=a^2D(X)

E(V)=cE(Y)+d, D(V)=c^2D(Y)

ρuv=cov(U,V)/(DU^0.5*DV^0.5)

cov(U,V)=E[(U-EU)(V-EV)]=E[（aX+b-(aEX+b))(cY+d-(cEY+d))]=AE[(X-EX)(Y-EY)]=acov(X,Y)

得到ρuv =a cov(U,V)/(aDX^0.5*DY^0.5)= cov(U,V)/(DX^0.5*DY^0.5)= ρxy

例：证明RV X,Y， D(X)=25， DY=36， ρxy=0.4, 求D(X+Y), D(X-Y)

解：D(X±Y)=DX+DY±2cov（X,Y）, ρxy=cov(X,Y)/[D(X)^0.5*D(Y)^0.5],

所以cov(X,Y)= ρxy*[D(X)^0.5*D(Y)^0.5=0.4*5*6=12

D(X±Y)=25+36±24, D(X+Y)=85, D(X-Y)=37

例：RV X~ П(4), Y~ B(100, 1/5), Z=2X-3Y, ρxy=1/4, 求ρxz

解:DX=EX=4 (泊松分布的期望值等于方差)

E(Y)=100*1/5=20， DY=100*1/5*4/5=15

ρxz=cov(X,z)/[D(X)^0.5*D(Z)^0.5],

DZ=D(2X-3Y)=4DX+9DZ-2cov（2X,3Y）=4*4+9*16-2*2*3*2=136

EZ=E(2X-3Y)=2EX-3EY

Cov(X,Z)=E[(X-EX)(Z-EZ)]=E[(X-EX)(2X-3Y-(2EX-3EY))]=E[(X-EX)(2(X-EX)-3(Y-EY))]=E[2(X-EX)^2-3(X-EX)(Y-EY)]=2DX-3cov(X,Y)=2DX-ρxy*D(X)^0.5*D(Y)^0.5,

ρxz=cov(X,Z)/[DX^0.5*DZ^0.5]=

(2DX-3ρxy*(DX^0.5)*(DY^0.5))/(DX^0.5*DZ^0.5)=1/(2*34^0.5)

用性质：cov（X,Z）=cov(X,2X-3Y)=cov(X,2X)-cov(X,3Y)

=2cov(X,X)-3cov(X,Y)=2DX-3cov(X,Y)=2DX-3ρxy*DX^0.5*DY^0.5