第五章  大数定理和中心极限定理

一、切比雪夫不等式

对于任何具有有限方差的RV X，对任意ε>0，都有P(|X-EX|<ε)≥1-DX/ε2

证明：设RV X ~ f(x), P(|X-EX|≥ε)=

用处：理论上，用于证明大数定律；看出方差的实际意义，反映RV X与EX差的关系；当不知道RV X的分布时，求RV X在某个范围概率的估计值，可用此不等式（必须知道EX,DX）

二、大数定理

(一)切比雪夫大数定理

设x1,x2……xn……两两不相关，D(Xi)存在且有界，即DXi≤c, i=1,2,……n…, 则对任意ε>0， 皆有：

证明：设 ， ，方差有限，对任意ε>0，都有P(|Y-EY|<ε)≥1-DY/ε2,即

得到：

（二）贝努利大数定理

条件：fn是n次独立重复试验中A出现的频数，且每次P(A)=p, P( )=q=1-p （0≤p≤1），那么对任意的ε>0，都有

证明：设X=0 if 第i次A不出现，1 if第i次A出现。X1，X2……Xn相互独立，所以一定不相关。D(Xi)存在，D(Xi)=pq≤1/4，即D(Xi)有界。满足切比雪夫大数定理条件，对任意ε>0,都有

（一）  辛钦大数定理

独立同分布条件下成立。X1，X1，……Xn……是相互独立的RV序列，服从相同分布，E(Xi)=a<+∞,D(Xi)<+∞,对任意ε>0，都有 。意思是算数平均数无限接近其期望值。

大数定理的重要意义：实际中，P接近1或者接近0的事件有重要意义。P接近1的事件（现象）认为实际上几乎一定发生。P接近0，认为实际上不可能发生，认为在一次试验上不会发生，这就是实际统计推断的原理，假设检验就是以此为准则。

三、德莫弗.拉普拉斯极限定理

相互独立的RV 序列X1，X2……Xn，都服从（0，1）分布，E(Xk)=p D(Xk)=pq, k=1,2,……n, p+q=1, 0≤p≤1， ，则1. ，当n趋向于∞时，其极限分布是N(np,npq)。2.(μn-np)/npq^0.5=Yn, ,即Yn当n->∞时，其分布为N(0，1), 实用中，

理论价值见下例。

例1 某车间有200台机床，独立工作，开工率为0.6，开工时耗电量都是1千瓦，问供电所至少需要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率保证车间不会供电不足而影响生产。

解：设xi=1 if 第i台开工，耗电1kw; 0 if 第i台不开工耗电。P(xi=1)=0.6 P(xi=0)=0.4,

设供电所应该供电Q千瓦，

，

φ[(Q-120)/48^0.5]=0.999, (Q-120)/48^0.5=3.01, Q≈142千瓦

例2 某厂产品废品率为千分之五，任取10000件，废品不多于70件的概率。

解：设X=1 if 第i件是废品； 0 第i件是正品。 i=1,2,……10000

10000件中废品个数Y，Y=

(上式中，npq=49.75)

四、同分布的中心极限定理

相对独立的RV 序列 X1， X2， ……Xn, 都服从同一个分布，又具有有限的期望和方差，EXk=μ, 0<Dk=σ^2<+∞,则 的分布函数Fn(X) ,

常用形式：对任意的a<b, n很大，   

重要性： 每个Xi 都是同分布且独立，可以看做正态分布。