第一节     条件概率与乘法

一、条件概率

例1：设箱中有100件同类产品，其中70件（50件正品，20件次品）来自甲厂，30件（24件正品，6件次品）来自乙厂，现从中任取一件产品。求取得甲厂产品=A的概率；求得次品=B的概率；已知取得甲厂产品，求取得次品的概率。

分析：

                  甲厂               乙厂

        正品      50                 24

        次品      20                 6

         合计     70                 30

P(A)=70/100，P(B)=26/100，都是先验概率，没有条件。P(B|A)=20/70=20%/70%=P(AB)/P(A)

条件概率：设A、B为两个事件，若P(A)>0, 则在A已发生的条件下，B发生的条件概率，记为：P(B|A)=P(AB)/P(A), P(B)>0。同样定义P(A|B)=P(AB)/P(B)

性质：条件概率仍然是概率：Pc(A|B)=[P(ABC)/P(C)]/[P(BC)/P(C)]=P(ABC)/P(BC)

计算方法：

在S上讨论问题需要求P(AB), P(B)，带入公式，求出P(A|B)=P(AB)/P(B)

将条件B考虑到试验E中去，得到SB，在SB直接求P(A|B)。

例2：四个球放入4个杯子中，已知第1,2号球放在不同杯子中，求三个球放入同一杯子中的概率。

思路：将杯子固定。E的S中w个数n=4^4, 设A=第一二号球放在不同杯子中，B=某三个球在同一个杯子里。

方法一：P(B|A)=P(AB)/P(A), P(A)=4*3*4*4/4^4=3/4, P(AB)=4*3*C(2,2)*C(1,2)/4^4, 带入得到P(B|A)=1/8

方法二：将A考虑到E，事先将1,2号球放在第二个杯子中，剩下二个任放在其他四个杯子中，SA中，n=4^2, P(B|A)=2/4^2=1/8

二、乘法公式

定理：对任意A,B, 设P(A)>0，或者P(B)>0，则有P(AB)=P(A)*P(B|A)=P(B)*P(B|A)

推论：对任意n个事件，A1， ……An, 若P（A1……An）>0，则有：P(A1……An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)*……P(An)P(A1A2…An-1)

证明：左边=P(A1)*P(A1A2)/P(A1)*P(A1A2A3)/P(A1A2)*……P(A1,A2,…An)/P(A1,A2,……An-1)

例：甲（m 正品， n次品），乙（k正品，l次品）。从甲中任取一个放入乙中，Ai={i次取正品}，i=1,2 求两次都取正品的概率。

解：P(A1A2)=P(A1)*P(A2|A1)=m/(m+n)*(k+1)/(l+k+1)

三、事件的独立性

一般P(A|B)≠P(B)，反之亦然。特别的，如果P(B|A)=P(B), P(A|B)=P(A)，则AB相互独立。

两个事件的独立性：P(AB)=P(B|A)*P(A)=P(B)*P(A|B)。若A，B独立,则有P(AB)=P(B)*P(A); 反之，若P(AB)=P(A)*P(B)，则A，B相互独立。A，B相互独立 P(AB)óP(A)*P(B)

用法：若A,B独立，则P(AB)=P(A)*P(B); 若E中A,B不知是否独立，要验证等式P(AB)=P(A)*P(B)成立判断。一般情况下，P(AB)=P(B|A)*P(A), 或者P(AB)=P(A|B)*P(B); 若独立P(AB)=P(A)*P(B).

AB=Ø=>A,B互斥； A∪B=S，AB=Ø，A,B对立。独立但是可能相容（P(AB)=0）。

n个事件A1……An的相互独立。若P(AiAj)=P(Ai)P(Aj), i,j=1,2,…..，两两独立。P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak)，三三独立。…….P(A1A2……An)=P(A1)*P(A2)*……P(An),则A1……An相互独立。

注：要验证n个条件相互独立要证明2^n-n-1个等式成立。

有反例。

若由E判断n个事件独立=>P(A1…..Ak)=P(A1)…..P(Ak)

三、全概率公式与贝叶斯公式

例：袋中有16个球，10白6红，每次取一个不放回，连取了二次，问：第一二次都取到白球的概率？第二次取到白球的概率。

设Ai=第i次取到白球，i=1,2。P(A1A2)=P(A1)*P(A2|A1)=10/16*9/15=3/8

A2与第一次抽取的各种情况有关，是个复杂事件，简单情况： ,

；  A2=A2S=A2( )=

全概率公式：设A1，A2…An, B是E中的事件，S是E中的样本空间，若AiAj≠Ø（i≠j）; ,称A1，A2…An是S的一个划分。若P(Ai)>0，i=1,2,…n, 且事件B能且只能与A1，……An之一同时发生，即 ，则P(B)= = 称为全概率公式，

例2： 甲乙丙三个工厂生产一批产品，甲厂产量为乙丙两厂之和，乙厂为丙厂产量的2倍，已知甲乙丙三厂正品率分别是0.9 0.96 0.84,(1)从该产品中任取一只，是正品的概率？（2）任取一正品，则它为哪厂生产的概率。

分析：产量之比为3:2:1。

解：(1)设B=任取一件正品，Ai={产品来自第i厂}，1，2,3分别是甲乙丙厂。

P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)*P(B|A2)+P(A3)*P(B|A3)=1/2*0.9+1/3*0.96+1/6*0.84=0.91

(2)P(A1|B)=P(A1)*P(B|A1)/P(B)=1/2*0.9/0.91≈0.5 (这是后验概率)

   P(A2|B)=P(A2)*P(B|A2)/P(B)=0.3*0.96/0.91≈0.35

   P(A3|B)=0.15，来自甲厂的概率最大。

求后验概率用上述贝叶斯公式，可由全概率公式推导。条件与全概率公式相同。P(Ai|B)=P(Ai)*P(B|Ai)/P(B)=P(Ai)*P(B|Ai)/