董老师讲的概率论与数理统计，由浅入深，特别适合我们学习掌握知识要点。

概率论与数理统计

（理工大学 董秀媛老师，1996）

第一章     概率论的基本概念

第一节    随机试验

随机试验的特点：随机性；预知性；可重复性，具有以上特点的试验是随机试验，

记为E。注：E主要包括实验条件，观察特性；注意可重复性。

第二节    随机事件，样本空间

一、随机试验E可能出现的结果叫事件，A, B,C ……，一般不能确定，归结为事件，两种

特殊事件，必然事件S, Ω，发生概率为1；不可能事件Ø，发生概率为0。

二、样本空间与基本事件

E中每一个可能出现的最简单的结果，它们必须满足二个条件：完备性，预知出其全部可能结果；互斥性，任意两个可能结果不能同时发生。则每个结果为E的一个基本事件或者样本点，记为e, w，E中所有基本事件构成的结合叫E的基本空间，记为S={e}，Ω={w}。

注意：定性定义，同一E，S不唯一。六张卡片分别标有1~6的号码，（4红，2白），从中任取一张：S1={w1, w2, w3, w4, w5, w6}，wi表示任一卡片上号码为i；S2{w偶，w奇} i=1, 2, ……, 6, 都是基本空间。但是S3={w1, w2, w3, w4, w5, w6, w偶，w奇, w>=3}不是基本空间，因为不满足互斥性，样本空间不是唯一的。

一旦S确定，就要在S上，以此w为基本单位探讨问题，不能再变。如：E1, S1中，奇数码所占比例3/6,1/2。

甲乙两人同时射击，观察命中的情况：{AB, ᾹB, A , Ᾱ }; 中弹情况{0,1,2}。

三、随机事件与基本事件：A由一个或者多个w构成。

四、事件是子集，w是点，S是集合。

1.       包含与相等：A⊂B (A发生则B发生)，A⊂B且B⊂A，则A=B。

2.       事件的和：A或者B至少一个发生，A ∪B

3.       事件的积：A与B同时发生，A∩B=AB

注：与数字的运算不同，AA=A, A∪A=A

4.       事件的差：A发生而B不发生，A-B=A-AB

5.       互斥事件，互不相容事件：AB=ø，AB不能同时发生，此时P(AB)=0

6.       对立事件（逆事件），AB=Ø且A∪B=S，B=Ᾱ, A=

常用公式：德.莫根定律， (对偶公式) , , 可以推广。

第三节   概率的概念

一、概率的统计定义：频率与概率

频率：A在n次重复试验中发生nA次，则比值nA/n叫A发生的频率，nA叫做频数。

性质：非负性，fn(A)>=0，归一性（完备性），fn(S)=1, fn(A)<=1。有限可加性，A->nA，B->nB, AB=&Oslash;，fn(A∪B)= fn(A)+fn(A)。特点：波动性；稳定性，统计的规律性，当n->无穷，fn(A)逐渐稳定于一个常数，这个常数就是概率，P(A)的统计定义。

, 实用中P(A)≈fn(A)

二、古典概率

古典概型：E具有，S中w个数有限，n； w发生等可能性。

古典概率：E中S的w个数n，A是E的任一事件，A包含k个w，称k/n是A发生的概率，P(A)=k/n。

例1： 从标号分别是1, 2, …, 10的十张卡片中任取二张，求下列事件的概率：1. A=卡片中恰好标号为1, 2；2. B=两张卡片标号都是偶数；3. C=两张卡片标号都小于5；4. D=两张卡片最小者是5

法一：E的S中w的个数n=C102=45, P(A)=1/45，P(B)= C52/45，P(C)= C42/45, P(D)= C11 *C51/45

法二：n= P102=90, P(A)=2/90=1/45, P(B)= P52/P102, P(C)= P42/45, P(D)= P11 P51 P22/90

性质：0<=P(A)<=1，P(S)=1，有限可加性

例二： 电话号码薄中任取一个号，号码由五位数字组成，求所取号码是由完全不同的数组成的概率。

S中w的个数：n=10^5(可重复排列), k= P105，设A=所取号码数字完全不同，则

P(A)= P105/10^5

例三：N件同型产品中，有M件废品，其他的是正品。现从中每次抽取一件，连续抽取十次，求取得的样品中正好有K件次品的概率

设A=取得的产品中正好有K件次品，则：

E1=有放回的抽取，n=N^10, K=M^K*(N-M)^(10-K), P(A)= M^K*(N-M)^(10-K)/N^10

E2=无放回的抽取，法一：n=C(10, N), k=C(K, M)*C(10-K, N-M), P(A)= C(K, M)*C(10-K, N-M)/C(10, N)

法二：n=P(10, N)， K=C(K,M)*C(10-K, N-M)*P(10), P(A)=C(K,n)*C(10-K, N-M)*P(10)/P(10,N)

古典概率的性质：非负性，0<=P(A)<=1；P(S)=1；有限可加性，A1，A2，…，An二二互不相容，则有P（A1∪A2∪…∪An）=