一、常用的几个分布

（一）  均匀分布：设RV x~f(x)=1/(b-a) 当x∈[a,b]; 0, 其他。称X在[a,b]上服从均匀分布，记为X ~ U(a,b)

例：求解以下均匀分布函数1.求C，2.写出F(x),3.求P(α≤X≤α+l) a<α<α+l<b

图形：

略

解：1. ，得到C=1/(b-a)

2. x<a时， ；a≤x≤b时，

当x>b时，

                   0                 x<a

所以F(x)=    (x-a)/(b-a)      a≤x≤b

              1                   x>b

3. P(α≤X≤α+l)=

（二）  正态分布

RV X ~ ，常数μ>0,σ>0, 称X服从参数为μ，σ^2的正态分布，记做X ~ N(μ,σ)

若X ~ ,-∞<x<+∞，称X服从标准正态分布。记为X ~ N（0，1）。

F(x)=

三种常见的标准分布：X ~ （0——1）分布；X ~ U(0,1)分布；X ~ N(0,1)分布。

图形特点：

f’(x)=0, 得出f(μ)=1/[(2π)^0.5σ]。 ，x=μ,得到

f’’(x)=0, x=μ±σ,

特点：曲线对称于x=μ；在x=μ处达到极大值 ，远离x=μ，f(x)->0，以y=0为渐近线；σ固定，μ大曲线右移，μ小，曲线左移；μ固定，σ大，曲线变平缓，σ小形成陡峭的峰。选择较尖的较准确。

概率计算：

当X ~ N(0,1), ,有表可查。正态分布查表联系（略）。

X ~ N(μ,σ2)时，F(x)= ，令t=(x-μ)/σ,σ+μ=x, dx=σdt,转变为：

例（查表，从略）

RV X ~ N(0，1),若Zα满足P(X>Zα)=α,0<α<1，称点Zα为标准正态分布的上100α百分位点。查表（略）。

P(|X|>Zα)=α称为Zα为标准正态分布的双侧百分位点。P(X>λ)=2P(X<-λ)=2Φ(-λ)=-2Φ(λ)=α, Φ(λ)=1-α/2

图形（略）

第一节  RV的函数及其分布

已知X~ f(x),y=f(x)，又Y=  (X)是RV X的函数，也是RV,求Y的分布。

一、离散型

已知 X~ (-2 -1 0 1 2;1/6 `1/4  1/6 1/4 1/6)，求Y=1/2*X^2的分布列。

X         -2   -1    0     1    2

Y          2    1/2  0    1/2    2

P(X=Xi)   1/6   1/4  1/6  1/4  1/6

Y           0       1/2    2

P(Y=Yi)    1/6      1/2   1/3

概括：已知X~(X1  X2 …… Xi……; p1  p2 ……pi……)，求Y=  (X)的分布列，1. 写出Y的取值，Yi=  (Xi) i=1,2,……，相应从小到大排列得到yi*，2. 写出相应的P(y=yi),等值合并。

二、连续型

已知X~f(x), Y=(X) x∈（a,b），求Y=φ(X)的概率密度函数g(y)。

1.  Y= (X)是单调增函数，严格连续可导

Y的分布函数G(y)=P(Y≤y)，f(x)在（a,b）上取非零值。

故有G(y)=P(Y≤y)=P(X≤ -1(y))= , (a)≤y≤ （b）

y~g(y)=G’(y)= , if (a)≤y≤ （b）;0 ,其他

2.  y= (x)是单调递减函数。G(y)=P(Y≤y)=P( (X)≤y)=P(x≥ -1(y))= = ,y~g(y)=G’(y)=-  if (a)≤y≤ （b）;0 其他。

由于y= (X)单调减，x= -1(y)亦减，固-[ -1(y)]’>0

统一如下：

定理，y~g(y)=G’(y)=  if α≤x≤β；0， 其他

例题：略