第一章     多维RV及其分布

w∈S, X(w), Y(w), X,Y没有固定函数关系；X，Y有内在联系（相关关系）

一、随机变量

定义：若RV X1(w), X2(w)……Xn(w)定义在同一个S上，则{ X1(w), X2(w)……Xn(w)}构成一个n维RV，重点研究二维RV。

研究方法：将（X,Y）视为一个整体，平面上的随机点，研究其分布，叫做联合分布；X, Y各个分量的分布叫边缘（边际）分布。

二、离散型RV的联合分布律

若（X,Y）所有取值是有限可列或无限可列个，则称（X,Y）是离散型RV，称P(X=Xi,Y=Yi)=Pij D(Ai,Bj)是(X,Y)的联合分布律，i=1,2,……, j=1,2……。满足Pij≥0， i,j=1,2……, 。

分布列如下：

X, Y	Y1	Y2	……	Yj	……
X1	P11	P12	……	P1j	……
X2	P21	P22	……	P2j	……
……	……	……	……	……	……
Xi	Pi1	Pi2	……	Pij	……
……	……	……	……	……	……

例1： 一整数X在1,2,3,4中任取，另一整数在1~ X中任取，试求(X,Y)的联合分布列。

X            Y	1	2	3	4
1	1/4	0	0	0
2	1/8	1/8	0	0
3	1/12	1/12	1/12	0
4	1/16	1/16	1/16	1/16

P(X=1，Y=2)=1/4，P(X=2，Y=1)=1/4*1/2=1/8，P(X=3，Y=1)=1/4*1/3=1/12，P(X=2，Y=2)=1/4*1/2=1/8，P(X=3，Y=2)= P(X=3，Y=3)=1/12，P(X=4，Y=1)=1/4*1/4=1/16，P(X=4，Y=i)=1/16，i=1,2,3,4

三、联合分布函数

（一）定义：设（X,Y）是三维RV，对任意实数x,y，二元函数P(X≤x, Y≤y)=F(x,y)称为（X,Y）的联合分布函数。

（二）性质：0≤F(x,y)≤1，F(-∞，+∞)=1， ， ，

图形略

F （x,y）是x,y的不减函数。

图形略

例：（x,y）~ F(x,y)=1-e-x-e-y+e-x-y x≥0，y≥0； 0  其他。求P(0<x≤1,0<y≤2)

解：P=F(1,2)-F(0,2)-F(1,0)+F(0,0)=1-e-1-e-2+e-3

四、连续型RV (X,Y)及其联合概率密度

（一）定义：RV (X,Y)~ F(X,Y)对任意实数x,y，存在f(x,y)≥0， 使得     ，则称(X,Y)是连续型二维随机变量，且f(x,y)是(X,Y)的联合密度函数。

（二）性质：f(x,y)≥0；  ；若f(x,y)在点(x,y)连续， ；D是x,y平面上的区域，

例（略）

第二节  边缘分布

一、已知(x,y)~ F(x,y)，求X的边缘分布FX(x),Y的边缘分布函数FY(y)。

X~ FX(x)=P(X≤x)=P(X≤x)= P(X≤x,Y<+∞)=F(x,+∞)

Y~ FY(x)= F(+∞,y)

例： （X,Y）~ F(X,Y)=1-exp(-x)-exp(-y)+exp(-x-y) if x>0 y>0; 0 其他。

X~ FX(x)=F(x,+∞)=1-exp(-x) if  x>0 ,0 if x≤0

Y~ FY(y)=F(+∞，y)=1-exp(-y) y>0, 0 if y>0

二、已知（X,Y）~ P(X=xi, Y=yi)=Pij, i,j=1,2,…… ;

X~ P(X=xi)=P(X=xi,y<+∞)= ，i=1,2……

Y~ P(Y=yi)=P(x<+∞，Y=yi)= ，j=1,2……

Pi.≥0  P.j≥0 ， ，

三、例题：略

四、相互独立的RV

定义一： 设（X,Y）~ F(X,Y), X~FX(x), Y~FY(y)，若对所有（x,y）有F(x,y)= FX(x)*FY(y),则称X,Y相互独立。A, B<=> P(AB)=P(A)P(B); P(X≤x,Y≤y)= P(X≤x)*P(Y≤y); F(x,y)= FX(x)*FY(y)。

定义二：（X,Y）是离散型RV，对所有的xi yj 有：（X,Y）~ P(X=xi, Y=yj)=Pij=P(X=xi)P(Y=yj)=Pi.P.j ，则称X，Y独立。其中X~Pi., Y~P.j

定义三：（X,Y）是连续型RV，（X,Y）~f(x,y), X~fX(x), Y~FY(y)，若对所有x,y都有：f(x,y)=fX(x) fY(y), 则称X,Y相互独立。

用处：判断X,Y是否独立；已知X,Y独立，用边缘分布求联合分布；推广x1,x2,……xn独立óF(x1,x2,……xn)=FX1(x1) FX2(x2) ……FXN(xn), f(x1,x2,……xn)=fX1(x1) fX2(x2) ……fXN(xn)

例题：略