第一节    两个RV函数的分布

一、离散型RV

例：(X,Y) ~

X                Y	-1	1	2
-1	5/20	2/20	6/20
2	3/20	3/20	1/20

求：Z1=X+Y  Z2=X-Y   Z3=max(X,Y)的分布列。

(X,Y)	(-1,-1)	(-1,1)	(-1,2)	(2,-1)	(2,1)	(2,2)
Z=X+Y	-2	0	1	1	3	4
Z=X-Y	0	-2	-3	-3	1	0
Z=max(X,Y)	-1	1	2	2	2	2

Z1	-2	0	1	3	4
P	5/20	2/20	9/20	3/20	1/20

Z2	-3	0	1
P	6/20	7/20	2/20
Z3	-1	1	2
P	5/20	2/20	13/20

例2：已知 ，X,Y独立。则 , ，k=1,2,……。

Z=X+Y ~ P(Z=n)=P(X+Y=n)=P(X=0,Y=n) +P(X=1,Y=n-1)+ P(X=2,Y=n-2)…… P(X=n,Y=0)

=P(X=0)P(Y=n)+ P(X=1)P(Y=n-1)+ ……P(X=n)P(Y=0)= =

二、关于顺序统计量的分布

          X A

                   b

a        Y B            ，X,Y 是A,B的寿命，求a,b的寿命。Z1=max(X,Y),是并联。

           A                   B

           X                   Y            Z2=min(X,Y)，串联。

a                                      b

a            A          b

             X

                                                     Z3=X+Y，备用系统

             Y

             B

已知Xi~ F(x), i=1,2,……,n, X1,X2,……，Xn相互独立。

1.  求Z=max(x1,……xn)的分布函数。

Z~ G(z)=P(Z≤z)=P(max(x1,……xn)≤z)=P(x1≤z,……xn≤z) (由于互相独立)

=P(x1≤z)*……P(xn≤z)=Fn(z),z的密度函数

g(z)=[ Fn(z)]’= nFn-1(z)F’(z)

2.  求求Y=min(x1,……xn)的分布函数。

Y~ φ(y)=P(Y≤y)=P(min(x1,……xn)≤y)=1- P(min(x1,……xn)>y)=1-P(x1>y,……xn>y)=1-P(x1>y)*P(x2>y)……P(xn>y)=1-[1-P(x1≤y)]* [1-P(x2≤y)]……[1-P(xn≤y)]=1-[1-F(y)]n

密度函数：

P(x1≤z,……xn≤z) (由于互相独立)

=P(x1≤z)*……P(xn≤z)=Fn(z),z的密度函数

g(z)=[ Fn(z)]’= nFn-1(z)F’(z)

三、求连续型RV (X,Y)函数的分布

已知（x,y）~ f(x,y), 求Z=φ(X,Y)的分布函数。

Z~ FZ(z)=P(Z≤z)=P(φ(x,y)≤z)=P((x,y)∈z)=

Z=FZ (z)= FZ’(z)

例： (x,y)~ f(x,y)，求Z=X+Y的分布函数

Z ~ FZ (z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤Z)=P((x,y)∈D)=

求密度： ，（仅对X+Y成立）

Z=X+Y~ fz(z)=

以上为卷积公式。

例：L由两个子系统L1，L2 连结成一个备用系统，L1寿命X~ FX(x)=1-exp(-αx) if x>0 , 0 其他。L2寿命：Y~ FY(y)=1-exp(-βy) if y>0, 0 其他。求L的寿命Z=X+Y的概率密度

            L1         

             X

                                                  

             Y

             L2

解： X~ Fx(x)=αexp(-αx) if x>0, 0 其他；Y~ FY(Y)=βexp(-βx) if y>0, 0 其他；显然独立。

，α>0。

定限法一：x>0 且z-x>0，得到0<x<z

法二：x>0, z>x得到0<x<z

只考虑公共部分。

if z>0, 0其他。

，y=z-x>0, x<z; z<0 fZ(z)=0

0<z<1,

z>1,

所以密度函数FZ(z)= 0 if z<0, 1-exp(-z) if 0<z<1; exp(1-z)-exp(-z) if z>1