第一节   区间估计

一、概念

定义：设统计量θ1(x1,……,xn)< θ2(x1,……,xn), 则称[θ1,θ2]是随机区间，

定义二：设θ是总体X的未知参数，若存在[θ1,θ2]，使得对给定的α（0<α<1）满足P(θ1≤θ≤θ2)=1-α，则称[θ1,θ2]是θ的100(1-α)%置信区间，1-α称为置信度，θ1是置信下限，θ2是置信上限。

例：某旅行社为调查当地每一位旅游者的平均消费水平，随机采访100名旅游者，平均消费为 =80元，已知消费额X~ N(μ,122)，试问消费者平均消费额μ的置信度为95%的置信区间是什么？

分析： 是μ的较好点估计；P{| -μ|<λ}=1-α,已知1-α=0.95， =80，要求μ的区间，关键是λ。这就需要找出 -μ的统计量，并且知道其分布。

方法： , ， ,

解不等式，已知α，查表得到 ， < , - < < ,

得到： ， ，得到置信下限和置信上限。

所以μ的（1-α）100%置信区间是[ ， ]。本例中 =80，σ=12，n=100, ,带入得到置信区间是[77.6， 82.4]。

解释： 是区间的中心，d= 是区间的半径，L=2d是区间长度。

说明：置信度1-α的定义：有样本值[θ1,θ2]能包含真值θ的概率为1-α。置信区间的大小刻画了参数θ的精确程度半径d表示用 估计μ的误差范围。d大好还是小好？由d的公式，d与n, α有关，1-α一定，n越大，d越小，精确度好；n一定，例如1-α=0.99，

找参数θ的一般方法：θ的较好点估计 ；给定1-α，选取有关θ和 的统计量，并且知道其分布，P(| -θ|<λ)=1-α,可以查表得到λ。解不等式| -θ|<λ，得到θ的置信度为（1-α）100%置信区间[θ1,θ2]。

二、数学期望的区间估计

设总体X~ N(μ,σ2), ,已知方差σ2，μ的（1-α）100%置信区间是[ ]。

如果未知方差。因为 ， ， 解不等式 ， ，

所以μ的(1-α)100%置信区间是：

三、方差的置位区间

σ2的较好点估计s2。总体X~ N(μ,σ2)

1.  若μ的估计值未知，σ2的置信度为100（1-α）%的置信区间是： ，其中左边=

， ,

得到：

2.  若μ已知，Xi~ N(μ,σ2),(Xi-μ)/σ2 ~ N(0,1),所以 ，

，解不等式，得到：

四、两个总体均值差、方差比的置位区间

X~ N(μ1,σ12), (X1，……,Xn1)是X的样本，s12是样本方差。

Y~ N(μ2,σ22), (Y1，……,Yn2)是Y的样本，s22是样本方差。X,Y独立。

1.  已知σ12，σ22，μ1-μ2的100(1-α)%置信区间是：

， , ,

得到： ，

,

所以μ1-μ2的100(1-α)%置信区间是（ ）

用处：[θ1,θ2],θ2<0说明μ1-μ2<0， μ1<μ2, 相信μ1<μ2的概率是1-α；θ1>0，μ1-μ2>0， μ1>μ2; 包含0，无法判断μ1，μ2的大小。

2.  未知方差，但是方差 ，有齐次性，μ1-μ2的100(1-α)%置信区间

， ，

,所以100(1-α)%置信区间是：

[ ]。

3.  方差比   的100(1-α)%置信区间

， ， 。

五、0——1分布参数的区间估计

设n>30，大样本；（x1,……,xn）是样本，

样本X:

X          0      1

P          q      p

p>0, p+q=1, EX=p

xi都是（0-1）分布。

p的较好点估计 ，选有关统计量：

（ ）,得到：

所以 ， ,

由于 ，两边都有 ，不好求。所以改变方法，两边同时平方：

， ， ,解之得到区间（p1,p2）。