Linear and Multiobjective Programming with Fuzzy Stochastic Extensions  

MasatoshiSakawa
HitoshiYano
IchiroNishizaki

Springer Science+Business Media New York 2013


1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Linear Programming in Two Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Extensions of Linear Programming. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Linear Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Algebraic Approach to Two-Dimensional Linear Programming. . . . . 7
2.2 Typical Examples of Linear Programming Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Standard Form of Linear Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Simplex Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Two-Phase Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6 Revised Simplex Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.7 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.8 Dual Simplex Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3 Multiobjective Linear Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1 Problem Formulation and Solution Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2 Scalarization Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2.1 Weighting Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2.2 Constraint Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2.3 Weighted Minimax Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.3 Linear Goal Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.4 Compromise Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.5 Interactive Multiobjective Linear Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4 Fuzzy Linear Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.1 Fuzzy Sets and Fuzzy Decision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.2 Fuzzy Linear Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.3 Fuzzy Multiobjective Linear Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.4 Interactive Fuzzy Multiobjective Linear Programming. . . . . . . . . . . . . . . 123
4.5 Interactive Fuzzy Linear Programming with Fuzzy Parameters . . . . . 131
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5 Stochastic Linear Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.1 Elementary Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.2 Two-Stage Programming. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.3 Chance Constrained Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.3.1 Expectation Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.3.2 Variance Model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.3.3 Probability Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.3.4 Fractile Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6 Interactive Fuzzy Multiobjective Stochastic Linear Programming . . . . 197
6.1 Multiobjective Chance Constrained Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
6.1.1 Expectation Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6.1.2 Variance Model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.1.3 Probability Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
6.1.4 Fractile Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
6.2 Multiobjective Simple Recourse Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
7 Purchase and Transportation Planning for Food Retailing . . . . . . . . . . . . . 233
7.1 Linear Programming Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
7.2 Multiobjective Linear Programming Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
7.3 Fuzzy Multiobjective Linear Programming Formulation . . . . . . . . . . . . . 251
7.4 Fuzzy Multiobjective Linear Stochastic Programming
Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
A Linear Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
A.1 Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
A.2 Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
B Nonlinear Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
B.1 Problem Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
B.2 Basic Notions and Optimality Conditions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
C Usage of Excel Solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
C.1 Setup for Solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
C.2 Solving a Production Planning Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
C.3 Solving a Diet Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
C.4 Solving a Nonlinear Programming Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
Solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337