[数据分析实例]-Crystal Ball与图形法求解最大值问题

图形法求解线性规划问题

线性规划模型基本概念

1．目标函数

一个寻求最大值或最小值或特定值的线性数学表达式，表明一个使某个变量最大或最小或特定值的目的。

2．约束条件(简写 S.T)

使用有效资源的限制条件。

3．决策变量

决策者可以控制的因素，它们的值决定目标函数的值。

4．构成 LP 模型的必要条件：

(1)目标明确：所有的问题都要求解某个最大或最小的量，称为目标函数。目标函数应是一组决策变量的线性函数。

(2)资源有限：LP 问题是有约束的，这些约束限制着追求目标的程度。所有约束应是由线性等式或不等式构成。

(3)方案的选择：必须有两种以上(包括两种)的可行方案供选择。

(4)决策变量非负：LP 问题要求决策变量取值非负(如可行方案中的产品的产量不能取负数)

线性规划实例－大小麦种植

假设一个农夫有一块2000平方米的农地，打算种植小麦或大麦，或是两者依某一比例混合种植。该农夫只可以使用有限数量的肥料30000kg和农药25000L，而单位面积的小麦和大麦都需要不同数量的肥料和农药。小麦以(F1,P1)(20, 10) 表示种植单位面积的小麦需要消耗20个单位的肥料和10个单位的农药，大麦以 (F2，P2) (30, 40) 表示种植单位面积的大麦需要消耗30个单位的肥料和40个单位的农药。设小麦和大麦的销售之后的利润分别为 $5和 $6，需如何决定种植小麦和大麦的数量，则可以获取最大的利润？

假设，小麦和和大麦的种植数量分别是 和 ，以P代表销售大小麦之后的利润，小麦与大麦的种植面积问题用以下的线性规划要素来表述：

目标函数(预测变量)：最大化利润 (max)

约束条件：

限制1：种植面积的限制： ，即种植的总面积不能超过可以可种植面积；

限制2：肥料数量的限制： ，大小麦消耗的总肥料量不能超过总可用的肥料量；

限制3：农药数量的限制： ，大小麦消耗的总农药量不能超过可用的总农药量；

限制4：非负性限制：

利用图形法对上述问题进行求解，由于限制条件中有 ，作图过程中XY均取正值，过程如下：

限制1：种植面积： ，将 作为Y轴， 作为X轴，则种植面积限制的表达式转换为 ，如图2.3-1如下：

该直线是斜率为-1，在X轴的截点为(2000,0)，在Y轴的截点为(0,2000),X轴和 轴中间的任意一点均可以满足该约束条件。

限制2：肥料数量限制： ，同样，将 作为Y轴， 作为X轴，图2.3-2如下：

可以看出限制条件2较限制条件1要更加严格，图上XY轴与 之间的面积更小。

限制3： ，将 作为Y轴， 作为X轴，图2.3-3如下：

图中所有直线下面积的交集部分就是 与 的可行区域，图2.3-4所示：

目标函数： ，将公式进行变形， , 将 作为Y轴， 作为X轴，则P/5为方程在Y轴上的截距。

将P/5＝1000，P/5＝1500，P/5＝2000分别带入方程进行计算，三条平行线分别与可行区域的相交情况，如图2.3-5所示：

则X1=1500，X2=0即是本次模型的最优解。

Crystal Ball软件求解

Step1 :Excel模型建立

Step2:设置求解器

Step3:计算最优值

与图形法求解出来的结果是一模一样的。