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金融随机分析习题求解啊！布朗运动的，大神们帮帮忙~
乳大未必有奶
5607 9
2014-03-23
Let W(t) be a standard Brownian Motion starting from zero and M(t) be its running maximum, M(t)=max B(s), 0≤s≤t
For fixed time t compute the density of random variable M(t)-B(t)

求解啊帮帮忙
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Chemist_MZ
2014-3-23 23:44:41
ok, I will give a breif solution,
1. For any two random variables X and Y (in our case, M(t) and B(t)), given their joint density f(X,Y), what's the density of their difference Z=X-Y?

The distribution function of Z, F(z)=P(Z<=z)=P(X-Y<=z)=∫∫_D f(x,y) dxdy, where D={(x,y): x-y<=z and x>=y, x>=0}, (note x>=y is for our special case M(t)>=B(t), and since B starts from 0, M(t)>=0)


F(z)=∫_0^inf[ ∫_x-z^x f(x,y) dy]dx


f(z)=F'(z)=∫_0^inf f(x,x-z) dx


2. Check your text book, the joint density:
\[f(x,y)=\frac{2(2x-y)}{t\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{(2x-y)^2}{2t}}\]

where: x>=y, x>=0, calculate the integral:

f(z)=∫_0^inf f(x,x-z) dx

It's done.


best,








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乳大未必有奶
2014-3-26 07:57:04
Chemist_MZ 发表于 2014-3-23 23:44
ok, I will give a breif solution,
1. For any two random variables X and Y (in our case, M(t) and B( ...
谢谢，很是正确，但是用到了我们没学过的东西，很是感谢
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euser2011
2014-3-28 12:15:54
Chemist_MZ 发表于 2014-3-23 23:44
ok, I will give a breif solution,
1. For any two random variables X and Y (in our case, M(t) and B( ...
请问这些公式是怎么输入的？
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Chemist_MZ
2014-3-28 19:46:39
euser2011 发表于 2014-3-28 12:15
请问这些公式是怎么输入的？
点击回复->高级模式->上端工具栏靠右有一个蓝色的按钮TEX, 使用latex的syntax输入。我也是刚发现原来论坛还支持latex的公式输入。

best，


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euser2011
2014-3-29 08:11:22
Chemist_MZ 发表于 2014-3-28 19:46
点击回复->高级模式->上端工具栏靠右有一个蓝色的按钮TEX, 使用latex的syntax输入。我也是刚发现原来论坛 ...
谢谢！                     
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