那是用图形证明，我用周期数字的方法，也就是教课书上提到的数学证明

梦碧秋的空间2009-10-21 19:01
四色猜想的正交拉丁方族证明
由1，2，……，N 构成的n×n方阵，要求每行每列各出现一次，这样的方阵称为拉丁方。1 2 3 4 中每个数字在每行每列出现一次是4阶拉丁方。1 2 3 4   用GF[2]的多项式来表示0 1 X 1+X             1 2 3 4                        0 1 X 1+X                                                1 2 3 4                         0 1 X 1+X                                          1 2 3 4                         0 1 X 1+X                                            将拉丁方的对角线写成列1 2 3 4               1 2 3 4             1 2 3 42 1 4 3               3 4 1 2             4 3 2 1            3 4 1 2               4 3 2 1             2 1 4 34 3 2 1               2 1 4 3             3 4 1 2这是3个完全的4阶正交拉丁方族。第1个的伽罗华运算是0+1=1；1+[1+X]=X；X+1=X+1；这是1 2 3 4的运算。1+1=0；0+[1+X]=1+X；1+X+1=X；这是2 1 4 3的运算。X+1=X+1；1+X+[1+X]=0；0+1=1；这是3 4 1 2的运算。1+X+1=X；X+[1+X]=1；1+1=0；这是4 3 2 1的运算。第2个的伽罗华运算是0+X=X；X+1=X+1；X+1+X=1；这是1 3 4 2的运算。1+X=1+X；1+X+1=X；X+X=0；这是2 4 3 1的运算。X+X=0；0+1=1；1+X=1+X；这是3 1 2 4的运算。1+X+X=1；1+1=0；0+X=X；这是4 2 1 3的运算。第3个的伽罗华运算是0+[1+X]=1+X；1+X+X=1；1+[1+X]=X；这是1 4 2 3的运算。1+[1+X]=X；X+X=0；0+[1+X]=1+X；这是2 3 1 4的运算。X+[1+X]=1；1+X=1+X；1+X+[1+X]=0；这是3 2 4 1的运算。1+X+[1+X]=0；0+X=X；X+[1+X]=1；这是4 1 3 2的运算。可以看出3个完全的4阶正交拉丁方族形成过程就是伽罗华加法运算的过程。第1个用作加法的多项式是1和1+X。第2个是X和1。第3个是1+X和X。我们在来看8阶正交拉丁方族的伽罗华加法运算。0 1 X X+1 XX XX+1 XX+X XX+X+10 1 X X+1 XX XX+1 XX+X XX+X+10 1 X X+1 XX XX+1 XX+X XX+X+10 1 X X+1 XX XX+1 XX+X XX+X+10 1 X X+1 XX XX+1 XX+X XX+X+10 1 X X+1 XX XX+1 XX+X XX+X+10 1 X X+1 XX XX+1 XX+X XX+X+10 1 X X+1 XX XX+1 XX+X XX+X+1由于X 的平方打不出，用XX表示X的平方，依次类推XXX表示X的立方。第1个加法运算是0+1=1；1+[1+X]=X；X+1=X+1；X+1+[XX+X+1]=XX；XX+1=XX+1；XX+1+[1+X]=XX+X；XX+X+1=XX+X+1；用作加法的多项式是1；1+X；XX+X+1；第2个加法运算是0+X=X；X+[XX+X]=XX；XX+[X]=XX+X；XX+X+[XX+1]=X+1；X+1+[X]=1；1+[XX+X]=XX+X+1；XX+X+1+[X]=XX+1；用作加法的多项式是X；XX+X；XX+1；第3个加法运算是0+[1+X]=1+X；1+X+[XX+1]=XX+X；XX+X+[1+X]=XX+1；XX+1+[X]=XX+X+1；XX+X+1+[1+X]=XX；XX+[XX+1]=1；1+[1+X]=X；用作加法的多项式是1+X；XX+1；X；第4个加法运算是0+XX=XX；XX+[XX+X+1]=X+1；X+1+[XX]=XX+X+1；XX+X+1+[1]=XX+X；XX+X+[XX]=X；X+[XX+1+X]=XX+1；XX+1+XX=1；用作加法的多项式是XX；XX+X+1；1；第5个加法运算是0+XX+1=XX+1；XX+1+[XX]=1；1+[XX+1]=XX；XX+[XX+X]=X；X+[XX+1]=XX+X+1；XX+X+1+[XX]=X+1；X+1+XX+1=XX+X；用作加法的多项式是XX+1；XX；XX+X；第6个加法运算是0+[XX+X]=XX+X；XX+X+[1]=XX+X+1；XX+X+1+[XX+X]=1；1+[XX]=XX+1；XX+1+[XX+X]=X+1；X+1+[1]=X；X+[XX+X]=XX；用作加法的多项式是XX+X；1；XX；第7个加法运算是0+[XX+X+1]=XX+X+1；XX+X+1+[X]=XX+1；XX+1+[XX+X+1]=X；X+[X+1]=1；1+[XX+X+1]=XX+X；XX+X+[X]=XX；XX+[XX+X+1]=X+1；用作加法的多项式是XX+X+1；X；X+1；从上面可以看出2的P阶伽罗华域，就有P个多项式进行伽罗华运算，所有的素数都有这个结果。这个结果的基础是什么，2的P阶伽罗华域可由不可约多项式生成，看看生成数字顺序。2的3阶伽罗华域可由XXX+x+1=0；生成。将XXX用数字3代替，这样多项式x+1的数字代码是3，依次推下去，XX+X代码是4，XX+X+1代码是5；XX+1代码是6；多项式1代码是7；X代码是1；XX代码是2；第1个用作加法的多项式是1；1+X；XX+X+1；代码分别是7；3；5；第2个用作加法的多项式是X；XX+X；XX+1；代码分别是1；4；6；第3个用作加法的多项式是X+1；XX+1；X；代码分别是3；6；1；第4个用作加法的多项式是XX；XX+X+1；1；代码分别是2；5；7；第5个用作加法的多项式是XX+1；XX；XX+X；代码分别是6；2；4；第6个用作加法的多项式是XX+X；1；XX；代码分别是4；7；2；第7个用作加法的多项式是XX+X+1；X；X+1；代码分别是5；1；3；由于是循环的，3，4，5，6，7，1，2，3。。。运算多项式数字代码之间是等差的，也就是说不可约多项式可以生成伽罗华域，是因为可以形成N个等差数列。 将4个数字看做4种颜色，将图形分拆放进4个数重叠的正方形里，通过伽罗华运算可得出图形4色可染。分拆的方法是，选一个邻近点最多点，放在第一行，标号为1；邻近点放在第二行，标号为2，3；如果是奇数圈，最后4个数，放进3个点，标号为2，3，4；从上面的方法可以看出，如果一个图形没有奇数圈，3色可以染。