【趣谈概率】用概率判生死：法庭上的数学证据（转）

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收藏 2014-04-24

如果你哪天不留神做错了一道概率题会有什么不堪设想的严重后果？自然是没有的。我想最多也就是考试挂科，补考重修而已。可是对于法庭上那帮戴着假发的人来说，概率没算好可以让无辜的人进监狱，让真正的罪犯逍遥法外。听起来似乎不可思议，但这样的事情真的发生过。

洛杉矶抢劫案
   历史上最著名的案例要数 1964 年夏天发生在美国洛杉矶的一起劫案。一天中午，一位老妇人从杂货店买了东西推着小车回家，途经一条小巷时，突然被一位冲过来的年轻女子推倒，等老妇人醒过神来，发现自己身上的钱包已被偷走，女贼也早跑了很远。虽然老妇人没有看清罪犯是什么样子，可小巷周围的不少住户都曾与这位女子擦肩而过，并且看到她在街头跳上一辆车逃离现场。

   后来警方根据目击者描述的犯罪者特征，几天后在附近逮捕了一对夫妻（Malcolm Collins 和 Janet Collins. Malcolm）。可是在法庭上，目击者中并没有人能够清晰地指认出罪犯，因此检方很难将 2 人定罪。于是检察官们想出了一个“新颖的办法”，他们把目击证人说出的几条主要特征列了出来，并且根据洛杉矶地区的数据估算了这些特征会出现的概率：

黄色的汽车：1/10
嘴上面有短胡子的男性：1/4
络腮胡子的黑人：1/10
马尾辫女孩：1/10
金发女孩：1/3
汽车中有肤色不同的夫妻俩：1/1000
   检察官找来一位“数学专业人士”，计算了在整个洛杉矶地区符合上述各条特征的夫妇存在的概率，这位“数学专业人士”认为最后的概率应该是 6 个概率值乘到一起，结果就是 1/1200万。检察官据此告知评审团，如此小的概率很难发生，附近地区很难再找到另外一对 6 项特征全部符合的夫妇，所以这对嫌疑人一定是罪犯。陪审团最终采纳了检方的意见，判定这对夫妇抢劫罪成立。可是后来加州高等法院驳回了这个判决，他们认为检方使用的概率作为证据的方式是错误的。

   首先，概率乘法公式 P(ABC) = P(A)P(B)P(C) 一定要在 A,B,C 都是独立事件的时候才成立，可是目击者提供的那些特征并不相互独立，比如留八字胡的男性和留络腮胡的男性这两项，“男性”这个信息是重叠的，而喜欢留胡子的人往往两个位置都会留胡子，两个特征高度关联，同时发生的概率远远大于两个数字相乘。马尾辫女孩和短发女孩也是同样的道理。这样的话，正确的概率可能会是 1/1200万的很多倍，并没有那么低。

   退一步说，假定概率真的是 1/1200万，以案发附近地区有 400 万人算，至少有2对夫妇符合目击者全部特征的概率是 1 - (11999999/12000000) 4000000 ，超过 30%，也就是说，仅仅根据 1/1200万的概率断就判定这对夫妇是唯一的也没有道理。

母亲杀子案

   类似的用数学计算来判案还不止一次。 1999 年，英国也有一次“概率定罪”的案件。一个Sally Clark的妇女第一个孩子出生之后几个星期离奇死亡，医生查不出其他病因，只诊断为一种叫 SIDS （婴儿猝死综合症）的罕见疾病。随后Clark再次怀孕，第 2 个孩子也在出生后几个星期死亡，原因再次被诊断为SIDS。这件事引起了警方的怀疑，警方认为 2 个孩子有可能是“被猝死”的，将 Clark 逮捕。

   在法庭上，检方引用医生的证明，声称 SIDS 这种病发病率很低，而且不是遗传病，所以可以把两个孩子的 SIDS 死亡看作独立事件，相乘之后的概率只有 1/7300万。和洛杉矶劫案类似，概率在这里再次被当做一个关键证据。检方以此说服了陪审团，法庭最后认为两个孩子连续得这种突发罕见疾病的概率很低，很难发生，Clark 杀死孩子罪行应该成立，被送入监狱。和上一个故事的结局一样，这个判决后来也被推翻了， Clark 被无罪释放。

   不妨让我们来看看检方的观点。他们认为 P(两个孩子都死于SIDS) = 1/73000000，那么 P(Clark杀了两个孩子) = 1 - 1/73000000 = 72999999/73000000，几乎是铁定的事实。

   但是，检方疏忽了一个非常关键的事实，那就是上面这个推理只有在 P(两个孩子都死于SIDS) + P(Clark杀了孩子) = 1 时才成立。事实上，除了这两种情况外还有其他可能，检方并不能完全排除。

   英国皇家统计学会后来指出，真要计算的话，一位母亲连续杀死自己两个亲骨肉这样极其***行为发生的可能性同样是极低的，甚至低于两个孩子都死于 SIDS 病的可能性。在判断概率的时候，不能只看P(两个孩子都死于SIDS)有多小，还要看和P（母亲连续杀死两个孩子）做相对比较。最后上诉的一方凭借更加全面的解释和一些新证据（比如第二个孩子可能受过细菌感染，有可能既不是死于 SIDS，也不是被杀）成功地为 Clark 洗脱罪名。

辛普森案

   第三个案件是美国的 1994 年到 1995 年的Simpson辛普森案件,辛普森是当年著名的橄榄球明星，因为涉嫌杀害自己的妻子被起诉，引起轩然大波，当时估计全美有1亿人看了对这个案件的电视转播。腰缠万贯的辛普森花高价聘请“梦幻组合律师团”为自己辩护，其中包括哈佛大学法学院的教授Alan Dershowitz，作为一位百战百胜的律师，Alan在这个案件中作为辩方一员再次大展身手。

   本来警方在案件现场收集到了很多证据，包括带血的手套、血迹、现场DNA检验。为了证实辛普森是有意图杀害自己妻子的，警方还特意收集了大量辛普森长期殴打虐待妻子的证据。似乎辛普森难逃被定罪伏法的命运，可是辩护律师们通过各种方法一一化解掉了检方的所有证据，护律师团还宣称洛杉矶警察局有其他失职行为。在经历了长达9个月的审判后，辛普森被宣判无罪。

   在 9 个月的马拉松式审判中，有一个用数学来辩护的小插曲。就是在对于虐待妻子这一条上，大律师Alan用概率的方法在法庭上辩解，“美国每年有 400 万妇女被丈夫或男友殴打，可是美国每年只有 1432 名妇女被丈夫杀死，这样说明那些长期虐待妻子的男人最后出手杀人的概率也就 1/2500，检方的说法不靠谱”。Alan的辩词似乎听起来挺有道理，检察官一时“反应不过来”，提不出好的理由进行反驳。

   可是从概率的角度上看，Alan的辩词只是狡辩而已。我们定义事件 A 是一个美国人虐待了妻子， B 是一个美国人杀了妻子。在事先没有任何给定信息的前提下，Alan律师估计的条件概率是 P(B|A) = 1/2500。

   但现实是，事件 A 已经发生，辛普森确实虐待了妻子，概率为1。他的妻子被杀的事情也已经发生，只是不清楚是谁是凶手。P(B|A)中 A、B 真正的定义应该是：
A：一个人虐待了妻子并且妻子被杀
B：凶手正是这个人

   根据资料，P(B|A)可以达到 90% 之高，也就是说在所有遭到谋杀的被虐美国妻子中，90%是被施虐者杀害。不过在庭审的时候，检方并没有能及时提出这个论点，不幸让Alan律师的诡辩得逞。

参考资料：
[1] The Numbers Behind Numbers, Solving Crime with Mathematics, Keith Devlin, Gary Lorden
[2] The Drunkard's Walk: How Randomness Rules Our Lives, Leonard Mlodinow

转自：http://songshuhui.net/archives/78532