Finite Sample Analysis in Quantum Estimation
Takanori Sugiyama

Doctoral Thesis accepted by
The University of Tokyo, Tokyo, Japan

Springer  2014

Contents
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Quantum Mechanics and Quantum Estimation: Background
and Problems in Quantum Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Quantum Mechanics: Operational Approach . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Quantum Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Problems in Quantum Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Mathematical Statistics: Basic Concepts and Theoretical Tools
for Finite Sample Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.1 Probability Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.2 Statistical Parameter Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.3 Figure of Merit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Asymptotic Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.1 Normal Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.2 Expected Loss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.3 Error Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Finite Theory for Sample Mean. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3.1 Mean Squared Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3.2 Tail Probability. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Evaluation of Estimation Precision in Test
of Bell-Type Correlations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1 Quantum Non-locality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 CHSH Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3 Test of the CHSH Inequality. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3.1 Estimation Setting. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3.2 Expected Loss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3.3 Error Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5 Evaluation of Estimation Precision in Quantum Tomography . . . . 37
5.1 Estimation Setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.1.1 Estimation Objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.1.2 Quantum State Tomography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2 Expected Loss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2.1 Extended Linear Estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2.2 Extended Norm-Minimization Estimator . . . . . . . . . . . . 52
5.2.3 Maximum-Likelihood Estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.3 Error Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.3.1 Extended Linear Estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.3.2 Extended Norm-Minimization Estimator . . . . . . . . . . . . 66
5.3.3 Maximum-Likelihood Estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.4 History and Related Works . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6 Improvement of Estimation Precision by Adaptive Design
of Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.1 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.1.1 Measurement Update Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.1.2 Notation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.1.3 A-Optimality Criterion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.2 Adaptive One-Qubit State Estimation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.2.1 Estimation Setting. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.2.2 Results and Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2.3 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.3 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7 Summary and Outlook. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Curriculum Vitae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117