1. 0.99999999....................=1:第一次知道这个等式是在小学，当时没有极限的概念，看到这个等式只有用惊叹来形容，不过随着以后功力的渐渐增长逐渐意识到数学里很多重要的悖论和反例都和无限有关，而在有限尺度成立的命题很多。

2.定义0，1，+，*和<，=和几条他们必须遵守的公理（其中重要的1个公理是1〉0），可以以此为基础构建整个实数集。这个事实本身固然十分重要，然而最让我惊叹的是整个构建过程，其逻辑上的严谨和完备充分体现了数学这门学科的特点。

3.处处连续但无处可导的函数存在，这一点倒不让我感到十分惊诧，因为|x|在x=0不可导，而将|x|在某个有界闭区间上的图像作周期性延伸我们可以得到可数无限个不可导点，将周期不断压缩最终就成了维尔斯特拉斯所构造的这种符合要求的函数。使我感到惊诧的是这种函数在整个连续函数空间里几乎无处不在，换句话说连续而至少有一点可导的函数不过是连续函数里非常小的一个子集（零测度）。

4.任何一个在实数集里的有界闭区间上连续的实值函数可以用一个项数趋于无限的多项式一致逼近，又是维尔斯特拉斯这个奇才证明了的定理奠定了数值分析里多项式拟合的理论基础，不过它在纯数学上的意义更大。值得一提的是曾是芝大数学系教授的斯通将其推广到复平面，但是这一杰出的成就并未给他带来菲尔兹奖。

5.康托集：开始听说这一概念让我实在无法接受，将[0，1]平分成三段，去掉中间那一段[1/3,2/3],然后对剩下的那两段再如法炮制去掉中间1/3，如此延续直至无穷可以得到最密集的点集（这个集合全由孤立的点组成没有任何线段），而且这个孤立点集是不可数无限却又是测度零。

6.拓扑空间：迄今为止我所接触过的任何空间的抽象，定义开区间加上四条性质，如此抽象的空间可以定义连续函数和连续映射，无须距离，无须收敛，让人叹为观止。

7.测度论：坦白地说在我接触测度论之前数学的很多现象在我看来有些散乱，但是测度论就像一根绳子把他们联系起来，而我曾以为很眩的列别格积分不过是其中的一个特例，尽管列别格积分也曾让我叹服了一段时间，因为我头一次知道一个将所有有理数对应到1，所有无理数对应到0的函数居然是可积的。

8.自然映射：数学家对于自然映射的定义就是一个自然的映射，初听起来似乎有些不应该出自凡事必先定义的严谨的数学家之口，但事实上自然映射并无固定解析形式，而你对于自然映射的第一印象就是这的确是个自然的映射。

9.Kakutani固定点定理：这个人名我实在不会翻译因为我在中国从来没有听说过这个定理，不过现在才知道这是应用数学里极其重要的一个定理，而它在数学以外的应用则更为普遍，这个定理印象最深的是有无穷多个版本的证明，每个版本都足以研究上半天。

10.伊藤引理：我对于这个引理的第一印象就是有没有搞错，这明显违反了常规微积分的求导原则，后来才发现随机过程微积分和常规微积分完全是两个世界，正如有限和无限。对于我而言，随机微积分就如同当年神奇的美洲大陆于探险的哥伦布水手们，而伊藤引理让我第一次意识到神奇之所在，尽管我现在对它的理解也仅限于数学角度。