其实这个问题在很多教科书中都有了标准的答案，论坛中也有这个答案:

坛友zhang3333 进行了解答：

n-1的由来——样本方差无偏估计证明推导公式,样本方差与自由度

证明：

S2(x)=1/(n-1)∑[xi-E(x)]2为var2(x)的无偏估计

需证明E(S2)=var2(x)

∑[xi-E(x)]2=∑[xi-1/n∑xj]2，∑条件为j=1→n

         =1/n2∑[(n-1)xi-∑xj]2，∑条件为j=1→n且j≠i

         =1/n2∑[(n-1)2xi2-2(n-1)∑(xi xj)+ ∑xj2+2∑xj xz]，∑条件为j=1→n，z=1→n，且j≠z≠i

E∑[xi-E(x)]2=1/n2∑[(n-1)2 E(xi2)-2(n-1)∑E (xixj)+ ∑E (xj2)+2∑E(xjxz)]，

知抽样样本相互独立E (xixj)=E(xi)E(xj)，且var(x)= E(x2)- E(x)2，且∑有n项，∑有n项，∑有n-1项，∑有(n-1)(n-2)/2项

E∑[x-E(x)]2=1/n2∑[(n-1)2E(xi2)-2(n-1)(n-1)E(x)2+(n-1)E(xj2)+(n-1)(n-2)E(x)2]，

           =1/n2∑[(n-1)2 var2(x)+ (n-1) var2(x)]，

           =1/n2 * n *[(n-1)2 var2(x)+ (n-1) var2(x)]

           =(n-1) var2(x)

所以E(S2)=var2(x)


自由度是指当以样本的统计量来估计总体的参数时，样本中独立或能自由变化的数据的个数称为该统计量的自由度。如果E(x)为一常数u，那么 var2(x)=1/n∑(x-u)2 。抽样样本方差估计中 E(x)由样本本身确定。当平均数的值和其中n-1个数据的值已知时，另一个数据的值就不能自由变化了，因此样本方差无偏估计的自由度为n-1。

当然，大家如果英语好点，也可以去看维基上的解答。

接下来，我要给大家看看对这个“小问题”的不一样的理解，孰是孰非请大家自己判断。

以下内容转自知乎

网友徐昇：

角度一 生活实例
样本的容量小于整体，所以有较小的可能性抽中一些极端的数据。比如找来一堆人做样本来测量身高，那么样本中出现巨人的可能性是很小的，这样得到的结果可能就会比实际小。为了弥补这点不足，就把分母变得小一些，这样就更能反应实际数据了。
质疑：这个解释其实不太合理。因为既然可能抽不到高个子，也同样可能抽不到矮个子，所以，分母既然可以变得小一些，也就应该有同样的理由变得大一些。我认为这个角度并不能说明问题。


角度二 自由度
自由度指的是等式中能够自由取值的变量的个数，如果有n个数能够自由取值，那么自由度就为n。
在样本方差的公式中， Xi有n个可取的值，所以Xi的自由度为n，但是，它接着还减去了 ，而 代表了样本中第1到第n个数值的平均值。那么，其实相当于增加了一个限制条件，原来的自由度要减去1，得n-1。(可以这样理解，如果自由度仍为n，那么 n个数可以随意取值的情况下，是不能得到一个确定的均值的。或者说，一堆数，如果知道了均值，那么其实只需要知道另外的n-1个数，这堆数中的每个数都确定了)

网友Jichun Si：

我来补充一个新的视角吧，希望能帮助理解。

       有很多人提到了“自由度”的概念。那么自由度是什么？说的好玄乎，什么因为估计了一个参数所以少了一个自由度。我说自由度是矩阵的“秩”或者“迹”有人信吗？
不信？来看：





就写这么多了。
        另外邹日佳的答案道出了实情，就是这个scalar不一定是n-1，也可能是n，n+1。但是他没说清楚为什么我们要追求无偏性。一般来说，极大似然的估计量可以保证一致性，但是不能保证无偏性。而一致性是在样本量很大的情况下的性质，但是小样本情形下未必多么好。所以我们做假设检验的时候经常要调整自由度的，大样本情况下你甚至可以忽略t和N，x2和F的差异，但是样本小的情况下，我们更愿意用t而非N，用F而非x2.
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       居然被顶的这么高。嗯嗯，那我就继续补充吧。回答评论区里面对几个问题。有人说这么简单一个问题你搞这么复杂干嘛。首先这个一点都不复杂，为了大家看清楚步骤写的比较详细而已，实际上非常简单的东西，只要你熟练掌握线性代数。而且，这是最简单的情形。稍微复杂一点的应用中，不这么麻烦你会搞糊涂的。比如工具变量的估计，假设N个观测，K个解释变量，K+1个工具变量，你告诉我计算误差项的方差的时候，是（N-K）还是（N-K-1）还是（N-K-K-1）？第一阶段不是已经估计量K+1个参数吗？要不要算在自由度里面？有兴趣自己用上面的方法简单推一下就明白了。projection而已。
       这里都是正交投影，trace=rank，但是我想用rank可以表达出跟“因为估计了一个参数”共同的理解，理解成N维空间里面投影的时候有一维共线了，这个纯属我自己多想。

       其实自由度调整有的时候不仅仅是为了无偏。举个栗子：

       当我们做面板效应固定效应（FE）的时候，如果计算误差项的方差，应该是用1/（NT-K）吗？嗯嗯，错了。应该用1/（NT-N-K）。为什么？你可以用上面的矩阵的形式推出来，也可以理解成我们做within group transformation的时候实际上每个group都减掉了一期，所以样本量相当于只有N(T-1)，也可以回想一下FE估计等价于FD估计的 GLS估计，而FD估计只有N(T-1)个样本。
不管了，反正记住FE计算方差要用NT-N-K，所以你看这里如果不对自由度做调整，这个方差的估计量连一致的都不是。当N趋向于无穷的时候，两种方法计算出来的趋向于T/(T-1)倍，两期的话就是两倍，三期的话就是1.5倍，差异很明显。
此外，在一定条件下，FE对个体异质性的估计虽然不是一致的，但是可以是无偏的。
存在总是有道理的。

网友邹日佳:

我能说陈述不成立么？
嗯，样本方差的分母是m-1是因为它是无偏的，嗯，这个解释其实蛮牵强。
分母是m-1的情况下，估计值是总体方差的无偏估计。
分母是m的情况下，估计值是最大似然估计。
分母是m+1的情况下，估计值是最小MSE（Mean Squared Error) 的估计。
那凭什么m-1就好呢？无偏就这么好，要比最大似然好，要比最小MSE好？
如果觉得样本够大，那么用m-1是不错的，因为在大样本下，参数的方差就算大一点儿也不会多多少，影响也不会大到哪儿去。
如果要保证信息利用充分，那我肯定选择最大似然估计的方差。
如果样本数量较小，我就选择最小MSE，因为此时无偏性其实不是第一准则，因为无偏导致了大方差是不可取的行为。
统计是一门很灵活的学科，不同的数据，会有不同的方法来处理。