【小概率·大名堂】10.离散概率分布——几何分布

胖胖小龟宝

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收藏 2014-08-13

   不知道大家还记的那个超几何分布么？就是那个和二项分布有“血缘”的超几何分布啊~~~记得？很好，我们今天不讲超几何分布……我们今天来说说几何分布（看着觉得像吧，就差一个字哦！）

   虽然几何分布和超几何分布就差一个字，但是他们确实完全不同的两个分布。首先我们来瞧瞧这两个分布的名字来源：
   “超几何分布”一词来源于超几何数列，就像“几何分布”来源于几何数列。
   几何数列又叫等比数列，是指一个数列从第2项起，每一项与前一项的比是一个定值。例如：一次射击命中目标的概率为P，那么到第n次射击首次命中目标的概率P（X=n)=(1-P)^(n-1)P,就是一个等比数列。就把随机变量服从的这种分布称为几何分布。

   超几何数列是这样一个数列：从第2项起，每一项与前一项的比是一个关于项数n的有理函数。例如：a1=2, a<n+1>/a<n>=n+3,数列{an}就是一个超几何数列。
   可见超几何数列是几何数列的推广。而超几何分布的概率公式是一个超几何数列的形式，所以就把这样的分布叫超几何分布。

   从几何分布的那个例子，我们已经可以了解到几何分布的大致定义，具体为：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。详细的说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。
它分两种情况：
1. 得到1次成功而进行n次伯努利实验，n的概率分布，取值范围为{1，2，3，...};
2. m = n-1次失败，第n次成功，m的概率分布，取值范围为{0，1，2，3，...}.
由两种不同情况而得出的期望和方差如下：

概率为p的事件A，以X记A首次发生所进行的试验次数，则X的分布列：

，

具有这种分布列的随机变量X，称为服从参数p的几何分布，记为X~Geo(p)。
几何分布的期望

，方差

      。

你们想知道这个是怎么证明的么？书上也许有，但不想翻书的可以点击这个链接：http://blog.sina.com.cn/s/blog_5e43275701018c7x.html。（过程太长，楼主就不贴了）

   对了，几何分布有个很好的性质叫做无记忆性（即对任何正整数m,n，有P{X=m+n|x>m}=p{x=n}）,也就是说，在已经作了m次失败试验的条件下，还需要继续作n次以上的试验的可能性，已从一开始就需要作n次以上试验的可能性是一致的。这表明，几何分布在后面的计算中，把过去的m次失败的信息遗忘了，就像刚开始计算一样。（简单点就是：不论你从第几项开始都是一样的，和前面的事件无关，除了几何分布外，在连续性里指数分布也具有类似的性质）
证明如下：
P{x=m+n|x>m｝＝P(X=m+n,x>m)/P{x>m}
                     =P(X=m+n)/P{x>m}
                     =p[(1-p)^(m+n-1)]/p[(1-p)^m+(1-p)^(m+1)+..........]
                     =p[(1-p)^(m+n-1)]/(1-p)^m
                     =p(1-p)^(n-1)
                     =P{x=n}（中间步骤用了等比数列求和）

今天讨论的环节貌似有点偏题，那就是你愿不愿意人生也具有无记忆性呢？

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