Introduction to String Theory

Contents
I Introductory Overview 1
1 Motivation 3
1.1 Standard Model and beyond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Our Model of Elementary Particles and Interactions . . 3
1.1.2 Theoretical questions raised by this description . . . . 5
1.1.3 Some proposals for physics beyond the Standard Model 7
1.1.4 String theory as a theory beyond the Standard Model . 13
2 Overview of string theory in perturbation theory 15
2.1 Basic ideas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 What are strings? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2 The worldsheet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.3 String interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.4 Critical dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.5 Overview of closed bosonic string theory . . . . . . . . 24
2.1.6 String theory in curved spaces . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.7 Compacti cation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Superstrings and Heterotic string phenomenology . . . . . . . 34
2.2.1 Superstrings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.2 Heterotic string phenomenology . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.3 The picture of our world as a heterotic string compacti
cation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.4 Phenomenological features and comparison with other
proposals beyond the standard model . . . . . . . . . . 42
3 Overview of string theory beyond perturbation theory 45
3.1 The problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Non-perturbative states in string theory . . . . . . . . . . . . 47
i
ii CONTENTS
3.2.1 Non-perturbative states in eld theory . . . . . . . . . 47
3.2.2 Non-perturbative p-brane states in string theory . . . . 52
3.2.3 Duality in string theory . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 D-branes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.1 What are D-branes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.2 Worldvolume theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.3 D-branes in string theory . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3.4 D-branes as probes of spacetime . . . . . . . . . . . . . 69
3.3.5 D-branes and gauge eld theories . . . . . . . . . . . . 71
3.4 Our world as a brane-world model . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4 Quantization of the closed bosonic string 77
4.1 Worldsheet action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1.1 The Nambu-Goto action . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.1.2 The Polyakov action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.1.3 Symmetries of Polyakov action . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2 Light-cone quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2.1 Light-cone gauge xing . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2.2 Gauge- xed Polyakov action, Hamiltonian . . . . . . . 83
4.2.3 Oscillator expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.4 Light spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2.5 Lessons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2.6 Final comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5 Modular invariance 91
5.1 Generalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2 Worldsheet coordinatization in light-cone gauge . . . . . . . . 92
5.3 The computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3.1 Structure of the amplitude in operator formalism . . . 93
5.3.2 The momentum piece . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3.3 The oscillator piece . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.4 Modular invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.4.1 Modular group of T2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.4.2 Modular invariance of the partition function . . . . . . 99
5.4.3 UV behaviour of the string amplitude . . . . . . . . . . 100
CONTENTS iii
6 Toroidal compacti cation of closed bosonic string theory 105
6.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.2 Toroidal compacti cation in eld theory . . . . . . . . . . . . 106
6.3 Toroidal compacti cation in string theory . . . . . . . . . . . 110
6.3.1 Quantization and spectrum . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.3.2 0 e ects I: Enhanced gauge symmetries . . . . . . . . 117
6.3.3 0 e ects II: T-duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.3.4 Additional comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7 Type II Superstrings 125
7.1 Superstrings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.1.1 Fermions on the worldsheet . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.1.2 Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.1.3 Spectrum of states for NS and R fermions . . . . . . . 128
7.1.4 Modular invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.1.5 Type II superstring partition function . . . . . . . . . . 135
7.1.6 GSO projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.1.7 Light spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.2 Type 0 superstrings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.3 Bosonization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8 Heterotic superstrings 145
8.1 Heterotic superstrings in bosonic formulation . . . . . . . . . . 145
8.1.1 Heteroticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.1.2 Hamiltonian quantization . . . . . . . . . . . . . . . . 146
8.1.3 Modular invariance and lattices . . . . . . . . . . . . . 148
8.1.4 Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8.2 Heterotic strings in the fermionic formulation . . . . . . . . . 154
8.3 Spacetime Non-susy heterotic string theories . . . . . . . . . . 158
8.4 A few words on anomalies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
8.4.1 What is an anomaly? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
8.4.2 Anomalies in string theory and Green-Schwarz mechanism
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
9 Open strings 165
9.1 Generalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
9.2 Open bosonic string . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
9.2.1 Light-cone gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
iv CONTENTS
9.2.2 Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
9.2.3 Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
9.2.4 Oscillator expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
9.2.5 Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
9.2.6 Open-closed duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
9.3 Chan-Paton factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
9.4 Open superstrings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
9.4.1 Hamiltonian quantization . . . . . . . . . . . . . . . . 177
9.4.2 Spectrum for NS and R sectors . . . . . . . . . . . . . 179
9.4.3 GSO projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
9.4.4 Open-closed duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
9.4.5 RR tadpole cancellation condition . . . . . . . . . . . . 181
10 Type I superstring 185
10.1 Unoriented closed strings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
10.1.1 Generalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
10.1.2 Unoriented closed bosonic string . . . . . . . . . . . . . 187
10.1.3 Unoriented closed superstring theory IIB/
 . . . . . . 188
10.2 Unoriented open strings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
10.2.1 Action of
 on open string sectors . . . . . . . . . . . . 191
10.2.2 Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
10.3 Type I superstring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
10.3.1 Computation of RR tadpoles . . . . . . . . . . . . . . . 193
10.4 Final comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
11 Toroidal compacti cation of superstrings 203
11.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
11.2 Type II superstrings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
11.2.1 Circle compacti cation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
11.2.2 T-duality for type II theories . . . . . . . . . . . . . . . 208
11.2.3 Compacti cation of several dimensions . . . . . . . . . 210
11.3 Heterotic superstrings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
11.3.1 Circle compacti cation without Wilson lines . . . . . . 215
11.3.2 Compacti cation with Wilson lines . . . . . . . . . . . 218
11.3.3 Field theory description of Wilson lines . . . . . . . . . 218
11.3.4 String theory description . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
11.4 Toroidal compacti cation of type I superstring . . . . . . . . . 226
11.4.1 Circle compacti cation without Wilson lines . . . . . . 227
CONTENTS v
11.4.2 T-duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
11.4.3 Toroidal compacti cation and T-duality in type I with
Wilson lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
11.5 Final comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
12 Calabi-Yau compacti cation of superstrings. Heterotic string
phenomenology 239
12.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
12.1.1 Supersymmetry and holonomy . . . . . . . . . . . . . . 240
12.1.2 Calabi-Yau manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
12.2 Type II string theories on Calabi-Yau spaces . . . . . . . . . . 246
12.2.1 Supersymmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
12.2.2 KK reduction of p-forms . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
12.2.3 Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
12.2.4 Mirror symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
12.3 Compacti cation of heterotic strings on Calabi-Yau threefolds 250
12.3.1 General considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
12.3.2 Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
12.3.3 Phenomenological features of these models . . . . . . . 257
13 Orbifold compacti cation 261
13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
13.1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
13.1.2 The geometry of orbifolds . . . . . . . . . . . . . . . . 262
13.1.3 Generalities of string theory on orbifolds . . . . . . . . 265
13.2 Type II string theory on T6=Z3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
13.2.1 Geometric interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
13.3 Heterotic string compacti cation on T6=Z3 . . . . . . . . . . . 275
13.3.1 Gauge bundles for orbifolds . . . . . . . . . . . . . . . 275
13.3.2 Computation of the spectrum . . . . . . . . . . . . . . 276
13.3.3 Final comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
14 Non-perturbative states in string theory 281
14.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
14.2 p-branes in string theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
14.2.1 p-brane solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
14.2.2 Dirac charge quantization condition . . . . . . . . . . . 287
14.2.3 BPS property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
vi CONTENTS
14.3 Duality for type II string theories . . . . . . . . . . . . . . . . 289
14.3.1 Type IIB SL(2; Z) duality . . . . . . . . . . . . . . . . 290
14.3.2 Toroidal compacti cation and U-duality . . . . . . . . 291
14.4 Final comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
.1 Some similar question in the simpler context of eld theory . . 295
.1.1 States in eld theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
.1.2 BPS bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
.1.3 Montonen-Olive duality . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
.2 The Kaluza-Klein monopole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
A D-branes 303
A.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
A.2 General properties of D-branes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
A.3 World-volume spectra for type II D-branes . . . . . . . . . . . 307
A.3.1 A single Dp-brane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
A.3.2 E ective action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
A.3.3 Stack of coincident Dp-branes . . . . . . . . . . . . . . 311
A.3.4 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
A.4 D-branes in type I theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
A.4.1 Type I in terms of D-branes . . . . . . . . . . . . . . . 316
A.4.2 Type I D5-brane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
A.4.3 Type I D1-brane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
A.5 Final comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
B String theories at strong coupling and string duality 323
B.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
B.2 The type IIB SL(2; Z) self-duality . . . . . . . . . . . . . . . . 324
B.2.1 Type IIB S-duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
B.2.2 Additional support . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
B.2.3 SL(2; Z) duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
B.3 Type IIA and M-theory on S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
B.3.1 Strong coupling proposal . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
B.3.2 Further comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
B.4 M-theory on T2 vs type IIB on S1 . . . . . . . . . . . . . . . 330
B.5 Type I / SO(32) heterotic duality . . . . . . . . . . . . . . . . 331
B.5.1 Strong coupling of Type I theory . . . . . . . . . . . . 332
B.5.2 Further comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
B.5.3 Additional support . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
CONTENTS vii
B.6 M-theory on S1=Z2 / E8  E8 heterotic . . . . . . . . . . . . . 333
B.6.1 Horava-Witten theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
B.6.2 Additional support . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
B.7 SO(32) het/typeI on S1 vs M-theory on S1  (S1=Z2) . . . . 337
B.8 Final remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
C Non-perturbative e ects in (weakly coupled) string theory 341
C.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
C.2 Enhanced gauge symmetries in type IIA theory on K3 . . . . . 341
C.2.1 K3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
C.2.2 Type IIA on K3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
C.2.3 Heterotic on T4 / Type IIA on K3 duality . . . . . . . 344
C.2.4 Enhanced non-abelian gauge symmetry . . . . . . . . . 345
C.2.5 Further comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
C.3 Type IIB on CY3 and conifold singularities . . . . . . . . . . . 350
C.3.1 Breakdown of the perturbative theory at points in moduli
space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
C.3.2 The conifold singularity . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
C.3.3 Topology change . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
C.4 Final comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
D D-branes and gauge eld theories 359
D.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
D.2 D3-branes and 4d N = 1 U(N) super Yang-Mills . . . . . . . 360
D.2.1 The con guration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
D.2.2 The dictionary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
D.2.3 Montonen-Olive duality . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
D.2.4 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
D.3 The Maldacena correspondence . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
D.3.1 Maldacena's argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
D.3.2 Some preliminary tests of the proposal . . . . . . . . . 370
D.3.3 AdS/CFT and holography . . . . . . . . . . . . . . . . 374
D.3.4 Implications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
.1 Large N limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
A Brane-worlds 381
A.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
A.2 Model building: Non-perturbative heterotic vacua . . . . . . . 384
viii CONTENTS
A.3 Model building: D-brane-worlds . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
A.3.1 D-branes at singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
A.3.2 Intersecting D-branes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
A.4 Final comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
B Non-BPS D-branes in string theory 403
B.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
B.2 Brane-antibrane pairs and tachyon condensation . . . . . . . . 403
B.2.1 Anti-D-branes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
B.2.2 Dp-Dp-brane pair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
B.2.3 Tachyon condensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
B.3 D-branes from brane-antibrane pairs . . . . . . . . . . . . . . 408
B.3.1 Branes within branes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
B.3.2 D-branes from brane-antibrane pairs . . . . . . . . . . 409
B.4 D-branes and K-theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
B.5 Type I non-BPS D-branes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
B.5.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
B.5.2 Heterotic/type I duality beyond supersymmetry . . . . 418
B.6 Final comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
A Modular functions 421
B Rudiments of group theory 425
B.1 Groups and representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
B.1.1 Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
B.1.2 Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
B.1.3 Reducibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
B.1.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
B.1.5 Operations with representations . . . . . . . . . . . . . 427
B.2 Lie groups and Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
B.2.1 Lie groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
B.2.2 Lie algebra A(G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
B.2.3 Exponential map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
B.2.4 Commutation relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
B.2.5 Some useful representations . . . . . . . . . . . . . . . 433
B.3 SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
B.3.1 Roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
B.3.2 Weights . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
CONTENTS ix
B.4 Roots and weights for general Lie algebras . . . . . . . . . . . 436
B.4.1 Roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
B.4.2 Weights . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
B.4.3 SU(3) and some pictures . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
B.5 Dynkin diagrams and classi cation of simple groups . . . . . . 441
B.5.1 Simple roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
B.5.2 Cartan classi cation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
B.6 Some examples of useful roots and weights . . . . . . . . . . . 444
B.6.1 Comments on SU(k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
B.6.2 Comments on SO(2r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
B.6.3 Comments on SO(2r + 1) . . . . . . . . . . . . . . . . 451
B.6.4 Comments on USp(2n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
B.6.5 Comments on exceptional groups . . . . . . . . . . . . 452
C Appendix: Rudiments of Supersymmetry 453
C.1 Preliminaries: Spinors in 4d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
C.2 4d N = 1 Supersymmetry algebra and representations . . . . . 456
C.2.1 The supersymmetry algebra . . . . . . . . . . . . . . . 456
C.2.2 Structure of supermultiplets . . . . . . . . . . . . . . . 457
C.3 Component elds, chiral multiplet . . . . . . . . . . . . . . . . 459
C.4 Super elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
C.4.1 Super elds and supersymmetry transformations . . . . 460
C.4.2 The chiral super eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
C.4.3 The vector super eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
C.4.4 Coupling of vector and chiral multiplets . . . . . . . . 468
C.4.5 Moduli space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
C.5 Extended 4d supersymmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
C.5.1 Extended superalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
C.5.2 Supermultiplet structure . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
C.5.3 Some useful information on extended supersymmetric
eld theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
C.6 Supersymmetry in several dimensions . . . . . . . . . . . . . . 477
C.6.1 Some generalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
C.6.2 Some useful superalgebras and supermultiplets in higher
dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
x CONTENTS
D Rudiments of di erential geometry/topology 483
D.1 Di erential manifolds; Homology and cohomology . . . . . . . 483
D.1.1 Di erential manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
D.1.2 Tangent and cotangent space . . . . . . . . . . . . . . 484
D.1.3 Di erential forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
D.1.4 Cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
D.1.5 Homology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
D.1.6 de Rahm duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
D.1.7 Hodge structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
D.2 Fiber bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
D.2.1 Fiber bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
D.2.2 Principal bundles, associated bundles . . . . . . . . . . 499
D.3 Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
D.3.1 Holonomy of a connection . . . . . . . . . . . . . . . . 502
D.3.2 Characteristic classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503