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【小概率·大名堂】15.抽样分布三剑客——揭开女神卡方的面纱
胖胖小龟宝
13511 90
2014-09-01
连续场合中最重要的几个分布中，我想还没有轮到说的就是χ2 分布了吧。被誉为抽样分布三剑客之一的χ2 分布低调的贯穿在T分布以及F分布中，今天，我们就来撩开χ2 分布神秘的面纱，来看看她又有哪些特点和性质！
卡方女神是T小弟和F大叔的近亲，何处此言？我们来回忆一下他们俩的定义——
T小弟：假设X服从标准正态分布N（0,1），Y服从χ2（n）分布（卡方分布），那么Z=X/sqrt(Y/n)的分布称为自由度为n的t分布,记为 Z～t(n)
F大叔：设X、Y为两个独立的随机变量，X服从自由度为d1的卡方分布，Y服从自由度为d2的卡方分布，这2 个独立的卡方分布被各自的自由度除以后的比率这一统计量的分布。
偶吼吼，女神不属于屌丝，女神应该被大叔和正太扑倒好么？（楼主你在想啥呢？能严肃点么？{:3_49:}，另外近亲是不能**的，真为楼主的智商捉急）
……
好吧，咱严肃点。
其实说χ2分布与其他两者的关系近，一点都没错，但它其实是伽马分布的一个特例（想知道什么是伽马分布么？你可以度娘谷哥，也可以戳这个链接：http://zh.wikipedia.org/wiki/伽玛分布），更与大名鼎鼎的正态分布有着千丝万缕的关系。
定义: 设 X1,X2,......Xn相互独立, 都服从标准正态分布N(0,1), 则称χ2=X12+X22+......+Xn2所服从的分布为自由度为 n 的χ2  分布。（卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布，当自由度n很大时， χ2分布近似为正态分布。）
0b7b02087bf40ad11e5f5a4e572c11dfa8eccee0.png （图上黄色的函数就是其密度函数了）
χ2有个很好的性质，就是她的期望=自由度；方差=2倍自由度。
具体说来：
1)分布在第一象限内，卡方值都是正值，呈正偏态（右偏态），随着参数 n 的增大，分布趋近于正态分布；卡方分布密度曲线下的面积都是1.
2)分布的均值与方差可以看出，随着自由度n的增大，χ2分布向正无穷方向延伸（因为均值n越来越大），分布曲线也越来越低阔（因为方差2n越来越大）。
3）不同的自由度决定不同的卡方分布，自由度越小，分布越偏斜。
4) 若互相独立，则：服从分布，自由度为；服从分布，自由度为。
有一个问题：为什么从正态总体中抽取出的样本的方差服从χ2 分布 ？
在抽样分布理论中，从正态总体进行一次抽样就相当于独立同分布的 n 个正态随机变量ξ1，ξ2，…，ξn的一次取值，将 n 个随机变量针对总体均值与方差进行标准化得(i=1,…,n)，显然每个都是服从标准正态分布的，因此按照χ2 分布的定义，应该服从参数为 n 的χ2 分布。
如果将中的总体均值 μ 用样本平均数 ξ 代替，即得，它是否也服从χ2分布呢？理论上可以证明，它是服从χ2 分布的，但是参数不是 n 而是 n-1 了，究其原因在于它是 n-1 个独立同分布于标准正态分布的随机变量的平方和。
我们常常把一个式子中独立变量的个数称为这个式子的“自由度”，确定一个式子自由度的方法是：若式子包含有 n 个独立的随机变量，和由它们所构成的 k 个样本统计量，则这个表达式的自由度为 n-k。比如中包含ξ1，ξ2，…，ξn这 n 个独立的随机变量，同时还有它们的平均数 ξ 这一统计量，因此自由度为 n-1。
又有一个问题：从分布的定义中可以看出，χ2分布是T分布和F分布的形成条件之一，除此以外她又有何实际意义？
通过χ2分布可以构造χ2统计量来进行χ2检验。卡方检验用于检验抽样的样本是否符合指定的概率分布，它的思想是计算样本的频率分布和指定分布之间的差，并构造一个卡方统计量来检验。这也许就是其最主要的贡献了！
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mm5172
2014-9-1 13:06:41
谢谢楼主
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lhf8059
2014-9-1 13:59:25
学习了！
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hocuser
2014-9-1 15:47:40
谢谢楼主
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greatlw
2014-9-1 15:52:37
好的，学习了
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pelee13
2014-9-1 20:56:24
写的非常深入浅出啊，支持楼主~
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