【小概率·大名堂】19.成双就得“协”作！

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收藏 2014-09-15

   均值和方差其实高中（初中）可能大家就接触到了，也奠定了很多同学对统计学专业的认识就是算个平均数……但协方差估计就不是那么早就接触到的指标了。因为涉及到多元，往往就比较复杂了，而且一说到协方差，都会连带着一个叫做协方差矩阵的东西……这就牵连到线性变换等高代里的概念了。但~~为了之后的回归，协方差一定会出现，从而推得一个很重要的衡量变量线性关系的统计量——相关系数！
   所以，今天我们就来看看协方差的相关知识——学过的就当复习，没学过的就当预习吧

   在概率论和统计学中，协方差用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。我们应该注意到，标准差和方差一般是用来描述一维数据的，但现实生活我们常常遇到含有多维数据的数据集，最简单的大家上学时免不了要统计多个学科的考试成绩。面对这样的数据集，我们当然可以按照每一维独立的计算其方差，但是通常我们还想了解更多，比如，一个男孩子的猥琐程度跟他受女孩子欢迎程度是否存在一些联系啊（猥琐男孩真的会受欢迎？？！！），嘿嘿~协方差就是这样一种用来度量两个随机变量关系的统计量。

协方差的定义：
E[(X-E(X))(Y-E(Y))]称为随机变量X和Y的协方差，记作Cov(X，Y)，即Cov(X，Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]。

协方差与方差之间有如下关系：

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)
D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X，Y)

协方差与期望值有如下关系：

Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)。

协方差的性质：
（1）Cov(X，Y)=Cov(Y，X)；
（2）Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)，（a，b是常数）；
（3）Cov(X1+X2，Y)=Cov(X1，Y)+Cov(X2，Y)。
由协方差定义，可以看出Cov(X，X)=D(X)，Cov(Y，Y)=D(Y)。

协方差的结果有什么意义呢？如果结果为正值，则说明两者是正相关的(从协方差可以引出“相关系数”的定义)，也就是说一个人越猥琐就越受女孩子欢迎，嘿嘿~~可能么？结果为负值就说明负相关的，越猥琐女孩子越讨厌……如果为0，也是就是统计上说的线性无关。其实，在判断两个变量之间的相关程度时，协方差并不是一个最好的度量方式。相关系数比协方差更能说明问题。

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