对高鸿业西方经济学微观中关于公地的悲剧模型的疑问

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收藏 2014-09-30

1.整体最优：用x表示公地上放牧的奶牛数量，每头奶牛每天可产奶1公斤。牛奶需求函数为P＝a－bx，其中a、b＞0为常数。于是奶牛的边际收益函数为MR＝a－2bx。
　　每只奶牛的所有成本为1000元，即边际成本MC＝1000。从而整个乡村的利润最大化产量满足MR＝MC，即a－2bx=1000，从而x**=(a－1000)/2b。
　　2.个体最优：设x1表示某个典型的村民拥有的奶牛数量，x2表示其余村民拥有的奶牛数量。需求函数P＝a－bx＝a－b(x1+x2)。
　　典型村民的私人收益TRp＝p·x1＝ax1－b(x1+x2)x1，于是其私人边际收益MRp＝TRp’
＝a－bx2－2bx1＝a－bx－bx1。边际私人成本与边际社会成本一样，也是1000元。故典型村民的私人利润最大化条件为：a－bx－bx1＝1000。
　　令x1=kx（0≤k≤1），代入上式，可得实际放牧量x*＝(a－1000)/(1+k)b。当k＝1时，即当典型村民拥有乡村的全部奶牛时，有x*=x**，这时候实际的放牧量将等于最优的放牧量。当0<k<1（0<x1<x、0<x2<x），即当典型村民拥有乡村的部分奶牛时，x*＞x**，这表示实际奶牛放牧量超过最优的放牧量。当k＝0时，即当典型村民拥有的奶牛数量相对于整个乡村的奶牛总量来说小到可以忽略不计时，x*=2x**。这表明，在极端情况下，村民的数量极多时，实际放牧量达到最大，为最优放牧量的2倍。

以上的论述中给出了需求函数P＝a－bx，我的疑问是这个需求函数究竟是每天的需求函数还是每头奶牛的整个产奶期的需求函数。论述中假定x头奶牛每天的产奶量为x公斤，如果需求函数也是每天的需求函数的话，那么边际收益函数是否应变为MR＝ac－2bcx（式中的c为奶牛的产奶天数），那么整个乡村的利润最大化产量就变成了x**=(ac－1000)/2bc。不知我这样理解是否正确，请各位评判。