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Gerber–Shiu Risk Theory

Draft  June 10, 2013

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 The Cram´er–Lundberg process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 The classical problem of ruin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Gerber–Shiu expected discounted penalty functions . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Exotic Gerber–Shiu theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 The Wald martingale and the maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1 Laplace exponent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 First exponential martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Esscher transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Distribution of the maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 The Kella-Whitt martingale and the minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1 The Cram´er–Lundberg process reflected in its supremum . . . . . . . . . 17

3.2 A useful Poisson integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3 Second exponential martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.5 Distribution of the minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.6 The long term behaviour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.7 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Scale functions and ruin probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1 Scale functions and the probability of ruin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2 Connection with the Pollaczek–Khintchine formula . . . . . . . . . . . . . . 30

4.3 Gambler’s ruin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.4 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5 The Gerber–Shiu measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.1 Decomposing paths at the minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.2 Resolvent densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.3 More on Poisson integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.4 Gerber–Shiu measure and gambler’s ruin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.5 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6 Reflection strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.1 Perpetuities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.2 Decomposing paths at the maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.3 Derivative of the scale function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.4 Present value of dividends paid until ruin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.5 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7 Perturbation-at-maximum strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.1 Re-hung excursions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.2 Marked Poisson process revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.3 Gambler’s ruin for the perturbed process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7.4 Continuous ruin with heavy perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.5 Expected present value of tax at ruin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7.6 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

8 Refraction strategies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

8.1 Pathwise existence and uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

8.2 Gambler’s ruin and resolvent density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

8.3 Resolvent density with ruin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8.4 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

9 Concluding discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

9.1 Mixed-exponential claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

9.2 Spectrally negative L´evy processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

9.3 Analytic properties of scale functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

9.4 Engineered scale functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9.5 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89