Title :Stochastic Calculus for Fractional Brownian  Motion and Applications

Authors: Francesca Biagini, Yaozhong Hu,  Bernt Øksendal, Tusheng Zhang

Publisher: Springer.

Contents:

Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Part I Fractional Brownian motion
1 Intrinsic properties of the fractional Brownian motion . . . . . 5
1.1 Fractional Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Stochastic integral representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Correlation between two increments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Long-range dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Self-similarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 HLolder continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7 Path differentiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.8 The fBm is not a semimartingale for H
= 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.9 Invariance principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Part II Stochastic calculus
2 Wiener and divergence-type integrals for fractional
Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1 Wiener integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Wiener integrals for H >1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.2 Wiener integrals for H <1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Divergence-type integrals for fBm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.1 Divergence-type integral for H >1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.2 Divergence-type integral for H <1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . 41
X Contents
3 Fractional Wick It.o Skorohod (fWIS) integrals for fBm of
Hurst index H >1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1 Fractional white noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Fractional Girsanov theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3 Fractional stochastic gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4 Fractional Wick It.o Skorohod integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.5 The p-derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.6 Fractional Wick It.o Skorohod integrals in L2 . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.7 An It.o formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.8 Lp estimate for the fWIS integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.9 Iterated integrals and chaos expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.10 Fractional Clark Hausmann Ocone theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.11 Multidimensional fWIS integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.12 Relation between the fWIS integral and the divergence-type
integral for H >1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4 WickIt.o Skorohod (WIS) integrals for fractional
Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.1 The M operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2 The Wick It.o Skorohod (WIS) integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.3 Girsanov theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.4 Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.5 Relation with the standard Malliavin calculus . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.6 The multidimensional case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5 Pathwise integrals for fractional Brownian motion . . . . . . . . . 123
5.1 Symmetric, forward and backward integrals for fBm . . . . . . . . . 123
5.2 On the link between fractional and stochastic calculus . . . . . . . . 125
5.3 The case H <1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.4 Relation with the divergence integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.5 Relation with the fWIS integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.6 Relation with the WIS integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6 A useful summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.1 Integrals with respect to fBm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.1.1 Wiener integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.1.2 Divergence-type integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.1.3 fWIS integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.1.4 WIS integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.1.5 Pathwise integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.2 Relations among the different definitions of stochastic integral . 155
6.2.1 Relation between Wiener integrals and the divergence . . 156
6.2.2 Relation between the divergence and the fWIS integral . 156
6.2.3 Relation between the fWIS and the WIS integrals . . . . . 157
6.2.4 Relations with the pathwise integrals . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Contents XI
6.3 It.o formulas with respect to fBm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Part III Applications of stochastic calculus
7 Fractional Brownian motion in finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.1 The pathwise integration model (1/2 < H < 1) . . . . . . . . . . . . . . 170
7.2 The WIS integration model (0 < H < 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.3 A connection between the pathwise and the WIS model . . . . . . 179
7.4 Concluding remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
8 Stochastic partial differential equations driven by
fractional Brownian fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8.1 Fractional Brownian fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8.2 Multiparameter fractional white noise calculus . . . . . . . . . . . . . . 185
8.3 The stochastic Poisson equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
8.4 The linear heat equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
8.5 The quasi-linear stochastic fractional heat equation . . . . . . . . . . 198
9 Stochastic optimal control and applications . . . . . . . . . . . . . . . . 207
9.1 Fractional backward stochastic differential equations . . . . . . . . . 207
9.2 A stochastic maximum principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
9.3 Linear quadratic control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
9.4 A minimal variance hedging problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
9.5 Optimal consumption and portfolio in a fractional Black and
Scholes market . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
9.6 Optimal consumption and portfolio in presence of stochastic
volatility driven by fBm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
10 Local time for fractional Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
10.1 Local time for fBm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
10.2 The chaos expansion of local time for fBm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
10.3 Weighted local time for fBm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
10.4 A Meyer Tanaka formula for fBm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
10.5 A Meyer Tanaka formula for geometric fBm . . . . . . . . . . . . . . . . 255
10.6 Renormalized self-intersection local time for fBm . . . . . . . . . . . . 258
10.7 Application to finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
Part IV Appendixes
A Classical Malliavin calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
A.1 Classical white noise theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
A.2 Stochastic integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
A.3 Malliavin derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
XII Contents
B Notions from fractional calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
B.1 Fractional calculus on an interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
B.2 Fractional calculus on the whole real line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
C Estimation of Hurst parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
C.1 Absolute value method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
C.2 Variance Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
C.3 Variance residuals methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
C.4 Hurstˇs rescaled range (R/S) analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
C.5 Periodogram method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
C.6 Discrete variation method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
C.7 Whittle method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
C.8 Maximum likelihood estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
C.9 Quasi maximum likelihood estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
D Stochastic differential equations for fractional Brownian
motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
D.1 Stochastic differential equations with Wiener integrals . . . . . . . . 297
D.2 Stochastic differential equations with pathwise integrals . . . . . . 300
D.3 Stochastic differential equations via rough path analysis . . . . . . 305
D.3.1 Rough path analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
D.3.2 Stochastic calculus with rough path analysis . . . . . . . . . . 306
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
Index of symbols and notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325