基础线性代数
ELEMENTARY LINEAR ALGEBRA
－K.R.Matthews
- 英文版2010

Contents
1 LINEAR EQUATIONS 1
1.1 Introduction to linear equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Solving linear equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 The Gauss–Jordan algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Systematic solution of linear systems. . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Homogeneous systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 PROBLEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 MATRICES 23
2.1 Matrix arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Linear transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 PROBLEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5 Non–singular matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.6 Least squares solution of equations . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7 PROBLEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 SUBSPACES 55
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2 Subspaces of Fn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 Linear dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4 Basis of a subspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5 Rank and nullity of a matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.6 PROBLEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4 DETERMINANTS 71
4.1 PROBLEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5 COMPLEX NUMBERS 89
5.1 Constructing the complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2 Calculating with complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.3 Geometric representation of C . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.4 Complex conjugate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.5 Modulus of a complex number . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.6 Argument of a complex number . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.7 De Moivre’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.8 PROBLEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6 EIGENVALUES AND EIGENVECTORS 115
6.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.2 Definitions and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.3 PROBLEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7 Identifying second degree equations 129
7.1 The eigenvalue method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.2 A classification algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.3 PROBLEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8 THREE–DIMENSIONAL GEOMETRY 149
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.2 Three–dimensional space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.3 Dot product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.4 Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.5 The angle between two vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.6 The cross–product of two vectors . . . . . . . . . . . . . . . . 172
8.7 Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8.8 PROBLEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
9 FURTHER READING 189
List of Figures
1.1 Gauss–Jordan algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1 Reflection in a line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Projection on a line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.1 Area of triangle OPQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.1 Complex addition and subtraction . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.2 Complex conjugate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.3 Modulus of a complex number . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.4 Apollonius circles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.5 Argument of a complex number . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.6 Argument examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.7 The nth roots of unity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.8 The roots of zn = a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.1 Rotating the axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.1 An ellipse example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.2 ellipse: standard form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.3 hyperbola: standard forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.4 parabola: standard forms (i) and (ii) . . . . . . . . . . . . . . 138
7.5 parabola: standard forms (iii) and (iv) . . . . . . . . . . . . . 139
7.6 1st parabola example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.7 2nd parabola example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8.1 Equality and addition of vectors . . . . . . . . . . . . . . . . 150
8.2 Scalar multiplication of vectors. . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8.3 Representation of three–dimensional space . . . . . . . . . . . 155
8.4 The vector
-
AB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8.5 The negative of a vector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.6 (a) Equality of vectors; (b) Addition and subtraction of vectors.157
8.7 Position vector as a linear combination of i, j and k. . . . . . 158
8.8 Representation of a line. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
8.9 The line AB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
8.10 The cosine rule for a triangle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.11 Pythagoras’ theorem for a right–angled triangle. . . . . . . . 168
8.12 Distance from a point to a line. . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.13 Projecting a segment onto a line. . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.14 The vector cross–product. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.15 Vector equation for the plane ABC. . . . . . . . . . . . . . . 177
8.16 Normal equation of the plane ABC. . . . . . . . . . . . . . . 178
8.17 The plane ax + by + cz = d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.18 Line of intersection of two planes. . . . . . . . . . . . . . . . . 182
8.19 Distance from a point to the plane ax + by + cz = d. . . . . . 184