一个数列{x_n}发散，是指它的不同的“子列”没有相同的极限。如果它的所有子列都有相同极限，就收敛了。因此，极限概念仅仅适用于收敛情况。对于只有收敛子列，但各子列收敛到不同极限的那种情况，一般的极限概念就不太让人舒服。上下极限就是对这种情况的一种描述。

如果我们把一个数列的所有子列的极限都放入一个集合A，则A的上确界就是数列的上极限，下确界就是下极限。如果所有子列都收敛到相同的极限，则A只有一个元素，这时候，上极限就是下极限，就是原数列的极限。

这种表述应该是非常简单易懂了。常见的分析书上，你看到非常令人不解的、各种符号堆砌而成的、看完就不知所云的那种定义，本质上和这里是一样的，但到现在，只有这种方式是最容易为初学者理解。

Please forgive my uninitiatedness, how can one define “子列” i.e.:

For a infinite set of sets { A1, A2, A3,..................................} the 子列 is

1. (A3, A4, A5} or

2. {A3, A4, A5,....................}  or

3. {A7, A200, A1090} or

4. {A7, A200, A1090.......................................}

which one is “子列”.

Thank you.