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当期权内含于标的公司的资产中时，是否还存在解析解？
chengzhifu2013
14614 52
2015-04-21
标题受字数所限，可能表意不清晰，现将问题简单描述如下：
       假设某上市公司在期权发行日t时刻买了一份以自己公司资产为标的欧式看涨期权，假设所要求的期权权利金价值设为c。不妨设t时刻公司价值为S，购买期权之前公司资产收益标准差为σ（已知），购买之后则变为σ’（未知）。再假设期权到期日为T，到期日协议价为K，无风险利率为r。那么根据BS公式有：
       c=S*N（d1）—K*exp[—r*（T—t）]*N（d2）
其中，
       d1={ln[S/K]+（r+0.5σ’*σ’）*（T—t）}/[σ’*(T-t)^0.5]，d2={ln[S/K]+（r—0.5σ’*σ’）*（T—t）}/[σ’*(T-t)^0.5]；N（）正态分布累积函数，exp（）为自然指数，()^05表示开根。
       那么问题来了，这里的c是否仍存在解析解呢？如果有，怎么求解；如果没有，该怎么证明。
       公司运用资本购买期权，不会改变总资产，只会引起资产结构的变化。进一步地，可能引致资产收益及其波动率的变化，不过在风险中性定价中的所有资产收益都等于无风险利率，所以我们唯一要考虑的只有资产收益波动率的变化。如何度量变化后的波动率呢？
      如果直接利用方差协方差矩阵计算组合的波动率，数据量运算量太大了。而如果先验地认为其他资产和期权相关系数很小以至于可以忽略的话（由于二者之间的直接关系是非线性的，二者呈现弱线性相关是可能的），再基于标的资产服从GBM的假设可知其收益服从正态分布，又由于两两不相关的正态变量相互独立，于是他们的方差就满足可加性了。我想到一个求近似解的循环算法，供大家讨论：就是先直接运用简单的bs公式算出一个c1来，再利用这个c1与标的资产二者收益波动率的加权算出新的资产收益波动率sigma1。再利用sigma1代入bs算出期权价值，此时标为c2，再算出sigma2。…，如此反复，也可以得到一个近似解。
      当然，这个近似解要存在，有一个重要的前提：这里所得到的级数{c_n}和{sigma_n}必须同时收敛。只要满足这一点，当n→无穷大时，cn≡S*N（d1）—K*exp[—r*（T—t）]*N（d2）（严格相等）。当然，是否收敛还得验证，直接看还真不好判断。

不知道我说清楚了没有，反正和试错法的思路也差不多，希望坛友们批评指正。
       PS：感谢孟飞版主的提醒，原来的表述确实存在常识错误。







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chengzhifu2013
2015-4-21 06:45:39
如果有朋友看到过相关文献，还请提一下。
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Chemist_MZ
2015-4-21 08:34:12
chengzhifu2013 发表于 2015-4-21 06:45
如果有朋友看到过相关文献，还请提一下。
1) why the value of the company will be S-c after it buys it's own option? You buy the option with cash, then option is an asset of the company. The value of the company should stay the same.

2) in that case you should have a system of stochastic differential equations because you don't know who determines who. They should be determined simultaneously
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依草若薰
2015-4-21 08:56:39
这个公式我学过，但是貌似不是S-c，而是S吧……
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chengzhifu2013
2015-4-21 09:05:13
Chemist_MZ 发表于 2015-4-21 08:34
1) why the value of the company will be S-c after it buys it's own option? You buy the option with ...
是的，我应该纠正一下。不过，只要公司买了自己的期权，那么他的资产结构还是变化了，从而他的资产收益波动率可能变化。这样一来，期权还是会影响到BS公式中的sigma，从而影响期权自身的价值。这种情况下又如何求解期权价格呢？
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chengzhifu2013
2015-4-21 09:14:06
依草若薰 发表于 2015-4-21 08:56
这个公式我学过，但是貌似不是S-c，而是S吧……
谢谢，已纠正。
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