Contents
1 Introduction to Probability Theory 11
1.1 The Binomial Asset Pricing Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Finite Probability Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Lebesgue Measure and the Lebesgue Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 General Probability Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5 Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.5.1 Independence of sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.5.2 Independence of -algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.5.3 Independence of random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.5.4 Correlation and independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.5.5 Independence and conditional expectation. . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.5.6 Law of Large Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.5.7 Central Limit Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2 Conditional Expectation 49
2.1 A BinomialModel for Stock Price Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2 Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3 Conditional Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.1 An example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.2 Definition of Conditional Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.3 Further discussion of Partial Averaging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3.4 Properties of Conditional Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.5 Examples from the Binomial Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
12
3 Arbitrage Pricing 59
3.1 Binomial Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 General one-step APT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Risk-Neutral Probability Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.1 Portfolio Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.2 Self-financing Value of a Portfolio Process . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4 Simple European Derivative Securities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.5 The BinomialModel is Complete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4 The Markov Property 67
4.1 BinomialModel Pricing and Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2 Computational Issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3 Markov Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3.1 Different ways to write the Markov property . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4 Showing that a process is Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.5 Application to Exotic Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5 Stopping Times and American Options 77
5.1 American Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2 Value of Portfolio Hedging an American Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3 Information up to a Stopping Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6 Properties of American Derivative Securities 85
6.1 The properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2 Proofs of the Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3 Compound European Derivative Securities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.4 Optimal Exercise of American Derivative Security . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7 Jensen’s Inequality 91
7.1 Jensen’s Inequality for Conditional Expectations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.2 Optimal Exercise of an American Call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.3 Stopped Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8 RandomWalks 97
8.1 First Passage Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973
8.2 is almost surely finite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.3 The moment generating function for . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.4 Expectation of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8.5 The Strong Markov Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.6 General First Passage Times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.7 Example: Perpetual American Put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.8 Difference Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
8.9 Distribution of First Passage Times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.10 The Reflection Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9 Pricing in terms of Market Probabilities: The Radon-Nikodym Theorem. 111
9.1 Radon-Nikodym Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.2 Radon-NikodymMartingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
9.3 The State Price Density Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9.4 Stochastic Volatility BinomialModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
9.5 Another Applicaton of the Radon-Nikodym Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 118
10 Capital Asset Pricing 119
10.1 An Optimization Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
11 General Random Variables 123
11.1 Law of a Random Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
11.2 Density of a Random Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
11.3 Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
11.4 Two random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
11.5 Marginal Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
11.6 Conditional Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
11.7 Conditional Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
11.8 Multivariate Normal Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
11.9 Bivariate normal distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
11.10MGF of jointly normal random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
12 Semi-ContinuousModels 131
12.1 Discrete-time Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314
12.2 The Stock Price Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
12.3 Remainder of the Market . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
12.4 Risk-Neutral Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
12.5 Risk-Neutral Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
12.6 Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
12.7 Stalking the Risk-Neutral Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
12.8 Pricing a European Call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
13 Brownian Motion 139
13.1 Symmetric RandomWalk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
13.2 The Law of Large Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
13.3 Central Limit Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
13.4 Brownian Motion as a Limit of RandomWalks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
13.5 Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
13.6 Covariance of Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
13.7 Finite-Dimensional Distributions of Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . 144
13.8 Filtration generated by a Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
13.9 Martingale Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
13.10The Limit of a Binomial Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
13.11Starting at Points Other Than 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
13.12Markov Property for Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
13.13Transition Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
13.14First Passage Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
14 The It ˆ o Integral 153
14.1 Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
14.2 First Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
14.3 Quadratic Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
14.4 Quadratic Variation as Absolute Volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
14.5 Construction of the It ˆ o Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
14.6 It ˆ o integral of an elementary integrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
14.7 Properties of the It ˆ o integral of an elementary process . . . . . . . . . . . . . . . . 159
14.8 It ˆ o integral of a general integrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1625
14.9 Properties of the (general) It ˆ o integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
14.10Quadratic variation of an It ˆ o integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
15 It ˆ o’s Formula 167
15.1 It ˆ o’s formula for one Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
15.2 Derivation of It ˆ o’s formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
15.3 Geometric Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
15.4 Quadratic variation of geometric Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
15.5 Volatility of Geometric Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
15.6 First derivation of the Black-Scholes formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
15.7 Mean and variance of the Cox-Ingersoll-Ross process . . . . . . . . . . . . . . . . 172
15.8 Multidimensional Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
15.9 Cross-variations of Brownian motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
15.10Multi-dimensional It ˆ o formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
16 Markov processes and the Kolmogorov equations 177
16.1 Stochastic Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
16.2 Markov Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
16.3 Transition density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
16.4 The Kolmogorov Backward Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
16.5 Connection between stochastic calculus and KBE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
16.6 Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
16.7 Black-Scholes with price-dependent volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
17 Girsanov’s theorem and the risk-neutral measure 189
17.1 Conditional expectations under . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
17.2 Risk-neutral measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
18 Martingale Representation Theorem 197
18.1 Martingale Representation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
18.2 A hedging application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
18.3 -dimensional Girsanov Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
18.4 -dimensionalMartingale Representation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
18.5 Multi-dimensional market model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006
19 A two-dimensional market model 203
19.1 Hedging when . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
19.2 Hedging when . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
20 Pricing Exotic Options 209
20.1 Reflection principle for Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
20.2 Up and out European call. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
20.3 A practical issue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
21 Asian Options 219
21.1 Feynman-Kac Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
21.2 Constructing the hedge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
21.3 Partial average payoff Asian option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
22 Summary of Arbitrage Pricing Theory 223
22.1 Binomial model, Hedging Portfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
22.2 Setting up the continuous model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
22.3 Risk-neutral pricing and hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
22.4 Implementation of risk-neutral pricing and hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
23 Recognizing a Brownian Motion 233
23.1 Identifying volatility and correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
23.2 Reversing the process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
24 An outside barrier option 239
24.1 Computing the option value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
24.2 The PDE for the outside barrier option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
24.3 The hedge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
25 American Options 247
25.1 Preview of perpetual American put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
25.2 First passage times for Brownian motion: first method . . . . . . . . . . . . . . . . 247
25.3 Drift adjustment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
25.4 Drift-adjusted Laplace transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
25.5 First passage times: Second method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2517
25.6 Perpetual American put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
25.7 Value of the perpetual American put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
25.8 Hedging the put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
25.9 Perpetual American contingent claim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
25.10Perpetual American call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
25.11Put with expiration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
25.12American contingent claim with expiration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
26 Options on dividend-paying stocks 263
26.1 American option with convex payoff function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
26.2 Dividend paying stock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
26.3 Hedging at time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
27 Bonds, forward contracts and futures 267
27.1 Forward contracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
27.2 Hedging a forward contract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
27.3 Future contracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
27.4 Cash flow from a future contract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
27.5 Forward-future spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
27.6 Backwardation and contango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
28 Term-structure models 275
28.1 Computing arbitrage-free bond prices: first method . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
28.2 Some interest-rate dependent assets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
28.3 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
28.4 Forward rate agreement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
28.5 Recovering the interest from the forward rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
28.6 Computing arbitrage-free bond prices: Heath-Jarrow-Morton method . . . . . . . . 279
28.7 Checking for absence of arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
28.8 Implementation of the Heath-Jarrow-Morton model . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
29 Gaussian processes 285
29.1 An example: Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
30 Hull and White model 2938
30.1 Fiddling with the formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
30.2 Dynamics of the bond price . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
30.3 Calibration of the Hull & White model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
30.4 Option on a bond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
31 Cox-Ingersoll-Ross model 303
31.1 Equilibrium distribution of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
31.2 Kolmogorov forward equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
31.3 Cox-Ingersoll-Ross equilibrium density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
31.4 Bond prices in the CIR model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
31.5 Option on a bond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
31.6 Deterministic time change of CIR model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
31.7 Calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
31.8 Tracking down in the time change of the CIR model . . . . . . . . . . . . . 316
32 A two-factor model (Duffie & Kan) 319
32.1 Non-negativity of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
32.2 Zero-coupon bond prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
32.3 Calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
33 Change of num´ eraire 325
33.1 Bond price as num´ eraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
33.2 Stock price as num´ eraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
33.3 Merton option pricing formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
34 Brace-Gatarek-Musiela model 335
34.1 Review of HJM under risk-neutral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
34.2 Brace-Gatarek-Musiela model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
34.3 LIBOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
34.4 Forward LIBOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
34.5 The dynamics of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
34.6 Implementation of BGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
34.7 Bond prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
34.8 Forward LIBOR under more forward measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3439
34.9 Pricing an interest rate caplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
34.10Pricing an interest rate cap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
34.11Calibration of BGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
34.12Long rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
34.13Pricing a swap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
35 Notes and References 349
35.1 Probability theory and martingales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
35.2 Binomial asset pricing model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
35.3 Brownian motion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
35.4 Stochastic integrals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
35.5 Stochastic calculus and financial markets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
35.6 Markov processes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
35.7 Girsanov’s theorem, the martingale representation theorem, and risk-neutralmeasures.351
35.8 Exotic options. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
35.9 American options. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
35.10Forward and futures contracts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
35.11Term structure models. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
35.12Change of num´ eraire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
35.13Foreign exchange models. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
35.14REFERENCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354