1. Finite dimensional Itˆo processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. Reminders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Quadratic variation - Bracket of a local martingale . . . . . . . . 4
1.3. Real Itˆo processes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4. Rd-valued Itˆo processes - General Itˆo’s formula . . . . . . . . . . 13
1.4.1. d-dimensional Itˆo processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.2. The general Itˆo formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5. Properties of Brownian motion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.1. The L´evy characterizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.2. The Markov property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6. Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2. Stochastic differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1. Strong solution - Diffusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.Weak solution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3. Some properties of diffusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.1. Stochastic flows and the Markov property . . . . . . . . . . . . 33
2.3.2. Infinitesimal generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.3. Comparison Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4. Bessel Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5. Diffusions and PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5.1. Parabolic problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5.2. The Feynman-Kac formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6. Examples in finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6.1. The Sturm-Liouville - Occupation time . . . . . . . . . . . . . 44
2.6.2. Introduction to the Black & Sholes formula . . . . . . . . . . . . 46
2.7. Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3. The Girsanov Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.1. Changing probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2. The Cameron Martin formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3. The Girsanov Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4. The Novikov condition and some generalizations . . . . . . . . . . 58
3.5. Existence of weak solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.6. Examples of applications to computations of expectation . . . . . . 62
3.7. The predictable representation theorem . . . . . . . . . . . . . 64
3.8. Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4. Applications to finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.1. Continuous financial market . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.1.1. Financial market with d risky assets and k factors . . . . . . . . . 69
4.1.2. Description of the strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
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