2.
量的对象和目的相关。这是从小学就要努力学习的东西。
排序。对某集合的元素进行排序，如运动员得奖的名次，世界富豪排行榜等。对排序进行运算也是没有意义的。
编码。在由许多对象构成的集合中，为每一个对象编一个不同的号码，以便识别。例如，为篮球运动员编号。我们现在处于信息社会，数有了一种全新的功能，就是对一切信息进行编码。数的这个新功能大大地拓广了数学研究和应用的领域，并产生了一系列数学化的新领域。对这样的编号进行运算也是没有意义的。
3．十进位制是谁发明的？十进位制的诞生是数学史上的一个伟大事件。从发掘出来的材料来看，我国在五，六千年以前新石器晚期的出土陶器上就有了表示数字的各种符号，其中已含有十进位的雏形了。相当完善的十进位制出现在距今三四千年的殷商甲骨文和稍后的钟鼎文中。而且有了“十”，“百”，“千“，“万”等表示位置的特殊文字。这些事实说明，中国是使用十进位最早的国家。这是一件了不起的伟大事件，是数系发展过程中的第一个里程碑。在谈到十进制的伟大意义时，拉普拉斯说：
“用十个记号来表示一切数，每个记号不但有绝对值，而且有位置的值这种巧妙的方法出自印度（这一点他错了！）。这是一个深远而又重要的思想，它今天看来如此简单，以致我们忽视了它的真正伟绩。但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便，才使我们的算术在一切有用的文明中列在首位；而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的两个人物阿基米得和阿波罗尼的天才思想的关注时，我们更感到这成就的伟大了。”
但是，并不是一切文明都是采用十进位制的。巴比伦人采用60进位制，罗马人采用12进位制，玛雅人采用20进位制。
进位制也随着科学的进步而发展，例如，计算机诞生后，二进位获得了新的应用。
4．数概念的进展有几个主要阶段？从简单到复杂，数系的发展可以分为七个主要阶段。它们是
1）正整数系：仅由正整数组成的数系；
2）整数系：由正的和负的整数和0组成的数系；
3）有理数系：由整数和分数组成；
4）实数系；
5）复数系；
6）四元数、八元数等；
7）超限数：处理无限集合的记数问题。
从逻辑和教学的观点看，这种划分是次序井然的，但是从历史上看却不是这样。数的历史发展的大体顺序是自然数，分数，无理数，零，负数，虚数（复数）四元数、超限数。
数的每一次扩张都引发了深层次的思考,也都留下了悬而未决的新问题.

§2 关键进展
1．新的语言。当有人提出一个普遍性的问题时，科学和哲学就诞生了。最先表现出这种好奇心的是希腊人。他们开始考虑物质的本质和构成。
关于基本元素，泰勒斯以为是水，阿那克西曼德以为是气，赫拉克里特以为是火。留基伯提出了原子论的基本概念。这是希腊人对物理学的一大贡献。
而毕达哥拉斯却走向了完全不同的道路：他不是用原子论，而是用数来解释。
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2．无理数的诞生。在数的概念的发展史上，毕达哥拉斯学派的一大成就是发现了“无理数”。起初，他们直觉地认为，任何两个线段一定有一个公共度量,也就是说，给定任何两个线段，一定能找到第三个线段，也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍.由此可以得到结论，任何两个线段的比都是整数比，即比是有理数。当他们发现存在某些线段的比不是有理数时，例如，正方形的对角线和边长的比2就不是有理数，他们受到极大地震动。因为这与他们的哲学信仰——“万物皆（有理）数也”相抵触。据说，发现者希帕索斯被抛进了大海。这就爆发了第一次数学危机。数学基础的第一次危机是数学史上的一个里程碑。它的产生和克服都有重要的意义。
顺便指出，“无理”是从希腊语中翻译过来的单词，它的意思是“不可测量”，而不是“丧失理性”。
第一次数学危机表明，希腊的数学已经发展到这样的阶段，数学已由经验科学变为演绎科学。
希腊数学家是最早的“纯粹”数学家。希腊数学家与其他古代的数学家的重要差别是，希腊数学家明确区分精确结果与近似结果，而当时的其他文化并不区分这种差别。希腊人对精确性的兴趣不仅影响了他们研究数学的方法，也影响了他们的研究内容。而正是这种兴趣，才促使他们作出了古代数学最为深刻的发现之一。
无理数的发现暗示了存在一个更大、更复杂的数系。令人惊讶的是，直到19世纪末，数学家才给出无理数的严格定义。
3. 0的发现。人类很早就发现了自然数，但是0的发现却晚得多，岂不怪哉！这项贡献应该归功于印度人。他们承认0是一个数，而不仅仅表示空位或一无所有。到公元7世纪，印度数学家婆罗摩笈普塔（约598年生）对0的运算有了较完整的叙述。但是，欧洲到1500年左右，0才被接受作为一个数。
4．负数的引入。在中国，负数的概念出现的很早。在《九章算术》（公元前1世纪）的方程章里已经提出了正、负数的不同表示法和正、负数的加减法则。印度人认识负数也比欧洲人要早得多。虽然负数通过阿拉伯人的著作传到了欧洲，但16世纪和17世纪欧洲的大多数数学家并不承认它是数，也不认为它们是方程的根。一些数学家把负数称为荒谬的数。例如著名数学家巴斯卡认为，从0减去4纯粹是胡说。
负数的引进为什么如此困难？。因为这是由具体数学走向形式化数学的第一次转折。完全掌握这种转折要求有高度的抽象能力。柯朗说：“人类先天倾向于抱住具体不放，例如对待自然数那样，这说明为什么迈出不可避免的一步是如此

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有了代数基本定理,我们就可以断言，一元n次多项式fx()在复数域中有n个根，从而它分解成一次因式的连乘积,即fxxxxxxxn()()()()=...12.
这里,xxxn12,,,.实数或复数，它们都是多项式的根.
7．四元数的诞生。四元数是哈密尔顿（1805——1865）的伟大创造。他花了好几年的时间深思这样一个事实：复数的乘法可简单地解释为平面的一个旋转，这个概念能否推广？能否发明一类新的数，并定义一类新的乘法，使之能表示三维空间的旋转？经过长时间的努力之后，他发现必须作出两个让步：
1）新数包含4个分量；
2）必须放弃乘法交换律。
四元数对代数学有不可估量的重要性。一旦数学家认识到，他们可以构造一个有意义的“数”系，它可以不具有实数或复数运算的某些性质，那他们就可以进行更自由的创造。
数的发展并没有到此停止。在四元数之前，还有代数数和超越数的发现，在四元数之后，还有超限数的发现。除了发现新数以外，数学家还需要给出数系的公理化。这对整个数学的发展具有重大意义。
8．实数的定义。.M克莱因说：“数学史上最令人惊奇的事实之一，是实数系的逻辑基础竟迟至十九世纪后叶才建立起来”。从有理数到实数的跨越是数的扩张中最艰难的一步，其中包含了许多数学中的核心概念：
从有限运算到无限运算；
从有限表示到无限表示；
从可数无限到不可数无限运算；
从离散到连续。
关于实数的构造,已有三种不同的方法,也就是有三派理论,即戴德金的”分划”,康托尔-海涅的”基本序列”和外尔斯特拉斯的”有界单调序列”.这三种构造方法有一个共同点:都是利用有理数的某些集合来定义无理数.并且,这三种定义在逻辑上是等价的.一旦证明了它们的等价性,就可以从任一定义出发去定义实数.