二、“经典的”与“现代的”   

数学有“经典的”与“现代的”之分。发思古幽情的现代人，往往喜欢“经典的”东西，不喜欢“现代的”东西，文章、艺术、建筑，无不是古胜于今。数学不同，数学显然是“现代的”胜于“经典的”，现代数学把经典数学吃进去了，消化掉了，几乎没有排出什么“糟粕”；经典的数学优美，现代的数学除了优美，更有壮美。然而数学的精神，自从发皇于古希腊，古今一贯，从未中绝，一切的现代学问中，最能守持古典精神的，仍是数学。菲尔茨奖没有奖金，只有奖章，但它是数学界的最高荣誉，奖章上刻着的是古希腊阿基米德的头像。

    1943年至1946年，不到三年间，陈省身在普林斯顿从事现代微分几何的奠基工作，使得关于流形整体结构的纤维丛理论基本成形。他把高斯-博内公式从二维推广到高维；他把欧拉-庞加莱示性数、施蒂菲尔-惠特尼示性类等刻画整体的概念和局部的曲率联系起来；他又把一般微分流形的球丛推广到复流形上的复球丛，引进了一种全新的示性类，后来称为“陈类”（Chern Class），时至今日，陈类已经是现代数学中的一个基本概念。

    1945年夏，陈省身在美国数学会大会上作题为“大范围微分几何若干新观点”的报告，系统阐述了整体微分几何的新思想和新方法。老一辈的拓扑学和几何学权威霍普夫听后评论说：“这篇演讲表明大范围微分几何的新时代开始了。这个新时代以纤维丛的拓扑理论和嘉当外微分方法的综合为特征。”半个世纪后，美国数学家辛格表达了所有追随和接续陈省身工作的学生后辈的共识：“陈省身就是现代微分几何。”菲尔茨奖得主邱成桐更明白宣示：“现代微分几何，嘉当是祖，陈省身是父。”

    嘉当是陈省身的老师，他的外微分方法是一根“魔杖”，真懂和能用的人很少，连堪称希尔伯特之后最大数学家的外尔都说：“嘉当的书难读。”但陈省身掌握了这根魔杖，独得之秘，运用自如。1991年张奠宙问过陈省身：“现在大家都能够很好地理解嘉当的思想了吗？”陈省身回答：“不一定。我可以保留这种秘密武器，别人做不出的结果，我可以做出来。”

    1984年，陈省身获沃尔夫奖，这个奖可以与菲尔茨奖并列，是数学的终身成就奖，颁奖词特别指出：“他在整体微分几何上的卓越贡献，其影响遍及整个数学。”被认为20世纪两项最伟大的数学成就之一的阿蒂亚-辛格指标定理（另一个是费尔马大定理的证明），也是以陈省身的工作为基础的。辛格在贺陈省身八十寿辰的文章中说：“对陈省身在局部和整体几何中能如此有效地运用微分形式感到惊异。”这所谓“微分形式”，就是陈省身的独得之秘，嘉当的魔杖。陈省身的同行们推崇他对现代几何的贡献，同时也欣羡他“对丰富和美丽的经典几何十分娴熟，这在数学界已经非常罕见”。


陈省身（1911-2004）是一位不世出的几何学家

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三、几何与物理    陈省身一生的外在形迹，可以说很平常，很顺利，没有曲折的遭遇，没有离奇的故事；他的不平常，是他念兹在兹的精神世界，是他为数学建立的不朽功业。《陈省身传》的最大好处，就在于通过陈省身一生行事的叙述，忠实地、几乎又可以说是酣畅淋漓地再现了他的精神生活；同时，围绕着陈省身的数学成就，带出了一部现代几何学的历史及其诸多关联，特别是与物理学的关联。
    书中涉及几何和物理的具体内容，某些概念、命题和论述不容易懂，但是张奠宙教授以其对所述内容的深刻理解和准确把握，出之以他所特有的通俗化本事，铺陈为文章，即使外行的读者，在似懂非懂之间，也能感受到现代高深数学和物理学的优美和壮美。
    精彩的一例，杨振宁于1954年提出粒子物理学的规范场理论，流形上的纤维丛理论则是数学家在与物理完全无涉的情况下发展的，两者竟有高度的一致性，连各自的术语都能规整地一一对应。杨振宁弄清楚规范场与纤维丛的关系后，连呼“奇迹”，特地驱车前往陈省身的家中，两位科学大师共享奇迹的发现，赞叹之余，转生困惑，旧学新知，疑义相析，这正是穷究天人之际的学问商量啊。
    讲完整个故事，作者有一段议论：“在发现规范场和纤维丛关系之前，陈省身很少关注物理。他只是埋头研究他钟爱的数学，把微分几何的房间打扫得清静干净，里面的物件井井有条，四周不乏华丽的装饰，使这所数学宫殿富丽堂皇。但是，当他打开窗户一看，外面是辽阔的物理学大海，清风徐来，海天一色，无限壮观，几何宫殿和物理大海竟然如此的和谐统一，只能感叹造化之巧。”这样的文字，能启发读者深思，引起同样的感叹。规范场和纤维丛，是用不同语言写的两篇大作，作者各不相谋，文章铢两悉称，仿佛互相的对译。这背后一定有更深的原因，原因何在呢？不在人际，在天人之际，在“道可道，非常道”的“造化之巧”。
    陈、杨两家有特殊因缘，陈省身的丈人郑桐荪和杨振宁的父亲杨武之是清华同事，陈省身是他们的学生，后来也是同事；陈省身的婚事还是杨武之极力撮合的呢。杨振宁曾比喻数学与物理“像两片有共同根茎的树叶，顺着各自的脉络，奔赴生命的前程”。陈数学，杨物理，“各自奔赴生命的前程”，竟又在造极之境上欢然相会。“谁为为之？孰令听之？”造化的安排真是不可思议。
    陈省身是握了道枢的人；这之后，他就经常讲几何与物理的关系了。1999年，他在复旦大学演讲，主题是“物理就是几何”，一句话把牛顿、麦克斯韦、爱因斯坦、杨振宁一网打尽。你看牛顿的主要方程（第二定律），再看爱因斯坦的“广相”方程，写出来简单，都是一边几何量，一边物理量，“物理就是几何”。麦克斯韦电磁场方程很复杂，写出来一大堆，得占一整页，学者苦于难记；陈省身却能把它们简约为两个不能再短的式子：dA=F，δF=J，其解释是“纤维丛上有一个平行性，这个平行性的微分等于场的强度；而场的强度经过某个运算就得到它的流矢量”；仍是“物理就是几何”管着。最妙的是，杨振宁的规范场方程竟然也是这两个短式，当然解释不同。什么叫“茅塞顿开”？什么叫“豁然贯通”？什么叫“醍醐灌顶”？什么叫“一句顶一万句”？陈省身的话就是。陈省身已然顿悟，金针度人，向众生说法，任何人想要开悟，当然还得勤精渐修。陈省身已经把要做的功课开示了，有志者就依次修习吧。

四、“知其不知”与“知所不知”

   


    南朝释慧皎撰《高僧传》，自序里说：“前代所撰，多曰名僧。然名者，本实之宾也。若实行潜光，则高而不名；寡德适时，则名而不高。”于是区分了“高”和“名”。其实“高”也是“名”，“高”是高名，“名”是大名。诺奖与菲奖、沃奖的区别在于：诺之高名，可能被大名所掩，菲、沃则否。陈省身、邱成桐师徒，都是既高且名的大师；当今数学家，高而不名者，有一人焉，俄罗斯人佩雷尔曼。佩氏在本世纪初成功证明了庞加莱猜想，这是克莱研究所公布的新千禧年七大数学难题的第一题。2006年国际数学联盟给他菲尔茨奖，他没有要；2011年克莱研究所给他百万美元奖金，他也没有要。他说：“如果我的证明是正确的，就不需要任何其他形式的肯定。”