正当数学家们在无穷集合的伊甸园中优哉游哉，并陶醉于数学绝对严格性的时候，一个惊人的消息迅速传遍了数学界。　　
“集合论是有漏洞的！”这就是，1902年，罗素得出的结论。　　罗素构造了一个集合U，U由所有不属于自身的集合组成，U显然存在，但U是否属于自身呢？无论回答是否都将导致矛盾，这就是著名的罗素悖论。罗素悖论相当简明，以致几乎没有什么可以辩驳的余地，然而它却动摇了整个数学大厦的基石：集合论。　　
“绝对严密”“天衣无缝”的数学，又一次陷入了自相矛盾与巨大裂缝的危机之中。原本已平静的数学水面，因罗素悖论的投入，又一石激起千重浪，令数学家们震惊之余有些惊慌失措，这就导致了数学史上所谓的“第三次数学危机。”　　
危机是由康托尔研究的无限集合引发的。危机产生后，包括罗素本人在内的众多数学家投入到解决危机的工作中去。1908年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF公理系统，使原本直观的集合概念建立在严格的公理基础之上，从而避免了罗素悖论的产生，在表层上解决了第三次数学危机。柳暗花明又一村：无穷小重返数学舞台　　
17世纪下半叶，牛顿、莱布尼兹创立的微积分学，用了无穷小量的概念，但因对其解释含糊不清，出现了贝克莱悖论，导致数学史上的“第二次数学危机”，19世纪，柯西、维尔斯特拉期等人引入极限论、实数论，使微积分理论严格化，从而避免了贝克莱悖论，圆满解决了第二次数学危机。然而与此同时，极限方法代替了无限小量方法。无穷小量作为“消失了量的幽魂”被排斥在数学殿堂之外了。　　

1960年，美国数理逻辑学家A鲁滨逊指出：现代数理逻辑的概念和方法为“无限小”、“无限大”作为“数”进入微积分提供了合适的框架，无穷小量堂而皇之地重返数坛，成为逻辑上站得住脚的数学中的一员，被认为是“复活了的无穷小”。这样微积分创立300年后，第一个严格的无穷小理论才发展起来。回顾微积分学发展的历史，无穷小分析法――极限方法――无穷小分析法，否定之否定，微积分学基础获得了进一步发展。实无限、潜无限　　
认真考察无穷在数学中的发展历程，可以注意到在数学无穷思想中一直存在着两种观念：实无限思想与潜无限思想。所谓潜无限思想是指：“把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着被不断产生出来的东西来解释。它永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在。把无限看作为永远在延伸着的（即不断在创造着的永远完成不了的）过程。所谓实无限思想是指：把无限的整体本身作为一个现成的单位，是已经构造完成了的东西，换言之，即是把无限对象看成为可以自我完成的过程或无穷整体。数学中无限的历史实际上是两者在数学中合理性的历史。　　亚里士多德只承认潜无限，使其在古希腊数学中占统治地位。文艺复兴时期后，实无限在数学中统治了三个世纪。17世纪下半叶，牛顿、莱布尼兹创立的微积分学也是以实无限小为基础的，在其理论中，无穷小量被看作一个实体,一个对象，正因此，早期微积分又被称之为“无穷小分析”。这种以实无限思想为据的理论在其产生后的一个世纪被广大数学家所使用，因而使这段时期成为实无限黄金时期。微积分被形容为一支关于“无穷的交响乐”。但由于当时人们对无穷小量概念认识模糊，导致产生了贝克莱悖论及一系列荒谬结果。在高斯时代，实无限已开始被抛弃了，尤其到了十八世纪末至十九世纪约百年时间中，随着重建微积分基础工作的完成，无穷小量被拒之于数学大厦之外，无穷小被看作实体的观念在数学分析中亦被驱除了，而代之以“无穷是一个逼近的目标，可逐步逼近却永远达不到”的潜无限观念。这种思想突出表现中现在标准分析中关于极限的定义中，并由此建立起了具有相当牢固基础的微积分理论，使得潜无限思想在这段时期深入人心。然而，到本世纪六十年代，A鲁滨逊创立的非标准分析，使无穷小量再现光辉，荣归故里，重新堂而皇之的登进数学的殿堂，而可与柯西的极限分庭抗衡了。尤其，在康托尔的无穷集合论中，体现的也是“无穷集合是一个现实的、完成的“存在着的整体”的实无限思想，这就足以使得实无限思想可与潜无限思想形成“双峰对峙”“炮马争雄”的局面了。　　

那么，无穷到底是实无限，抑或是潜无限呢？　　两种无穷思想在数学上经历过“江山代有才人出，各领风骚数百年”的此消彼长与往复更迭后，已在现代数学中日趋合流，实际上现在数学中早已 是既离不开实无限思想也离不开潜无限思想了。标准分析与非标准分析的使用表明：用两种不同的无穷思想为据，采取不同的方式却可以得出完全相同的结果。这殊路同归的结局，意味着两种无穷思想可以避开“两虎相争，必有一伤”而走向“平分秋色，辉映成趣”了。　　
当我们上升到哲学高度时，可能会获得对两者关系的更清楚认识。　　
辩证法告诉我们，要从整体，从两方面看问题。如同我们所熟悉的“金银盾”的故事那样，看到金一面的说是金盾，见到银一面的说是银盾，而实际上对盾的认识应是“一面是金，一面是银”，数学家们对无穷的认识亦相仿。看到无穷实在性一方面的说无穷是实无穷，见到无穷潜在性一面说无穷是潜无限，但对无穷的认识只能是“无穷既是实无限，又是潜无限”，无穷本身就是一个矛盾体，它既是一个需无限趋近的过程，又是一个实体，一个可研究的对象。在这一矛盾体中，矛盾的一方是实无限，另一方是潜无限而无穷正是这矛盾双方的对立统一。事物并非只是“非此即彼”而是可以“亦此亦彼”的。潜无限作为矛盾体的一面，是对有穷的直接否定，而实无限作为矛盾体的另一面则是对潜无限的否定，是否定之否定。诚如徐利亚教授提出的无穷双相性理论：实无限、潜无限只是一枚硬币的两面罢了。――这倒并非是哲学的玄奥思辩，而是辩证法为我们上的生动一课。

结语　　
“数学是研究无穷的学科。”数学与无穷确实有着不解之缘。认识论说，人的认识总是由具体到抽象，而这一认识过程从一定角度看也可以说是由有限到无限的迈进，而数学是最具抽象性的学科，这亦足以说明在向无限的迈进中，数学达到的层次是最深入的。并且在数学中，无穷是永远无法回避的。因为数学证明就是用有限的步骤解决涉及无穷的问题。数学与无穷间的关系是剪不断、理还乱的。从数学产生之日起，无穷就如影如随，伴着数学的发展齐步前进。尤其当微积分产生后，数学与无穷的联系就更紧密了。恩格斯说：“莱布尼兹是研究无限的数学的创始人。”诚如恩格斯所言，从唯物辩证法角度来看，数学的发展从初等数学到高等数学的质的飞跃，就是数学上从研究有限到研究无限的质的飞跃。微分和积分实质上都是一种极限，而极限过程就是无限过程。因此可以说，微积分在数学树立了一座认识无穷的不朽丰碑，另外康托尔的无穷集合论也使人们对无穷的认识上升到一个新层次。　　然而“无穷既是人类最伟大的朋友，也是人类心灵宁静的最大敌人。”（希尔伯特语）因为征服无穷的路毕竟是这样地难行。在数学无穷发展历程中，我们已经看到征服无穷的路途中，悖论是一次次出现：芝诺悖论、贝克莱悖论、罗素悖论的出现即为例证。虽说，历经几百年，数代数学家的艰苦努力，建立的极限论、实数论、ZF公理系统解决了这些悖论及由此导致的危机。然而悖论的的清除，矛盾的回避也导致了数学确定性的一步步丧失。第三次数学危机只是于表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。希尔伯特曾企图用形式主义“一劳永逸地消除任何对数学基础可靠性的怀疑。”然而其一揽子解决方案在1930年哥德尔发现不完备定理后宣告付之东流了。哥德尔的工作使人们对无穷的认识又上升了一个层次。人们开始更深刻地明白：任何想一劳永逸解决无穷问题的努力是乌托邦式工作不可能成功。认识无穷、征服无穷之途是漫漫无际的。然而数学中没有不可知！经过一代代人的努力，人们对无穷的认识必将一次次上升到新的高度。

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