by Claus Munk

March 15, 2004

Preface viii 1 Basic interest rate markets, concepts, and relations 1 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Markets for bonds and interest rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 Discount factors and zero-coupon bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Zero-coupon rates and forward rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4.1 Annual compounding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.2 Compounding over other discrete periods – LIBOR rates . . . . . . . . . . 8 1.4.3 Continuous compounding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.4 Different ways to represent the term structure of interest rates . . . . . . . 10 1.5 Determining the zero-coupon yield curve: Bootstrapping . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6 Determining the zero-coupon yield curve: Parameterized forms . . . . . . . . . . . 13 1.6.1 Cubic splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6.2 The Nelson-Siegel parameterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6.3 Additional remarks on yield curve estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Fixed income securities 21 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Floating rate bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Forwards on bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4 Interest rate forwards – forward rate agreements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.5 Futures on bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.6 Interest rate futures – Eurodollar futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.7 Options on bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.7.1 Options on zero-coupon bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.7.2 Options on coupon bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.8 Caps, floors, and collars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.8.1 Caps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.8.2 Floors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.8.3 Collars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.8.4 Exotic caps and floors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.9 Swaps and swaptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.9.1 Swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.9.2 Swaptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.9.3 Exotic swap instruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3 Stochastic processes and stochastic calculus 42 3.1 Probability spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2 Stochastic processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.1 Different types of stochastic processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.2 Basic concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2.3 Markov processes and martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.4 Continuous or discontinuous paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3 Brownian motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.4 Diffusion processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.5 Itˆo processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.6 Stochastic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.6.1 Definition and properties of stochastic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.6.2 The martingale representation theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.6.3 Leibnitz’ rule for stochastic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.7 Itˆo’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.8 Important diffusion processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.8.1 Geometric Brownian motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.8.2 Ornstein-Uhlenbeck processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.8.3 Square root processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.9 Multi-dimensional processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.10 Change of probability measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4 A review of general asset pricing theory 72 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.2 Assets, trading strategies, and arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.2.1 Assets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.2.2 Trading strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.2.3 Redundant assets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.2.4 Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.3 State-price deflators, risk-neutral probabilities, and market prices of risk . . . . . . 77 4.3.1 State-price deflators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.3.2 Risk-neutral probability measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.3.3 Market prices of risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.4 Complete vs. incomplete markets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.5 Equilibrium and representative agents in complete markets . . . . . . . . . . . . . 85 4.6 Extension to intermediate dividends . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.7 Concluding remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5 The economics of the term structure of interest rates 89 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.2 Real interest rates and aggregate consumption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.3 Real interest rates and aggregate production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.4 Equilibrium term structure models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.4.1 Production-based models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.4.2 Consumption-based models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.5 Real and nominal interest rates and term structures . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.5.1 Real and nominal asset pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 5.5.2 No real effects of inflation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.5.3 A model with real effects of money . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.6 The expectation hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.6.1 Versions of the pure expectation hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.6.2 The pure expectation hypothesis and equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.6.3 The weak expectation hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.7 Liquidity preference, market segmentation, and preferred habitats . . . . . . . . . 111 5.8 Concluding remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6 Introduction to dynamic term structure models 115 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6.2 Additional probability measures convenient for pricing . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6.2.1 Martingale measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6.2.2 A zero-coupon bond as the numeraire – forward martingale measures . . . . 117 6.2.3 An annuity as the numeraire – swap martingale measures . . . . . . . . . . 118 6.2.4 A general pricing formula for European options . . . . . . . . . . . . . . . . 119 6.3 Forward prices and futures prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 6.3.1 Forward prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 6.3.2 Futures prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6.3.3 A comparison of forward prices and futures prices . . . . . . . . . . . . . . 123 6.4 American-style derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 6.5 Diffusion models and the fundamental partial differential equation . . . . . . . . . 124 6.5.1 One-factor diffusion models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 6.5.2 Multi-factor diffusion models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.6 The Black-Scholes-Merton model and Black’s variant . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.6.1 The Black-Scholes-Merton model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.6.2 Black’s model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6.6.3 Problems in applying Black’s model to fixed income securities . . . . . . . . 138 6.7 An overview of continuous-time term structure models . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.7.1 Overall categorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6.7.2 Some frequently applied models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.8 Concluding remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Contents iv

7 One-factor diffusion models 144 7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 7.2 Affine models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 7.2.1 Bond prices, zero-coupon rates, and forward rates . . . . . . . . . . . . . . 146 7.2.2 Forwards and futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 7.2.3 European options on coupon bonds: Jamshidian’s trick . . . . . . . . . . . 150 7.3 Merton’s model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 7.3.1 The short rate process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 7.3.2 Bond pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 7.3.3 The yield curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 7.3.4 Forwards and futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 7.3.5 Option pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 7.4 Vasicek’s model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 7.4.1 The short rate process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 7.4.2 Bond pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 7.4.3 The yield curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 7.4.4 Forwards and futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 7.4.5 Option pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 7.5 The Cox-Ingersoll-Ross model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 7.5.1 The short rate process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 7.5.2 Bond pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 7.5.3 The yield curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 7.5.4 Forwards and futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 7.5.5 Option pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 7.6 Non-affine models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 7.7 Parameter estimation and empirical tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 7.8 Concluding remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 7.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

8 Multi-factor diffusion models 182 8.1 What is wrong with one-factor models? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 8.2 Multi-factor diffusion models of the term structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.3 Multi-factor affine diffusion models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 8.3.1 Two-factor affine diffusion models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 8.3.2 n-factor affine diffusion models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 8.3.3 European options on coupon bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 8.4 Multi-factor Gaussian diffusion models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 8.4.1 General analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 8.4.2 A specific example: the two-factor Vasicek model . . . . . . . . . . . . . . . 192 8.5 Multi-factor CIR models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 8.5.1 General analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 8.5.2 A specific example: the Longstaff-Schwartz model . . . . . . . . . . . . . . 195 8.6 Other multi-factor diffusion models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Contents v 8.6.1 Models with stochastic consumer prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 8.6.2 Models with stochastic long-term level and volatility . . . . . . . . . . . . . 201 8.6.3 A model with a short and a long rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 8.6.4 Key rate models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 8.6.5 Quadratic models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 8.7 Final remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

9 Calibration of diffusion models 206 9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 9.2 Time inhomogeneous affine models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 9.3 The Ho-Lee model (extended Merton) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 9.4 The Hull-White model (extended Vasicek) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 9.5 The extended CIR model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 9.6 Calibration to other market data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 9.7 Initial and future term structures in calibrated models . . . . . . . . . . . . . . . . 215 9.8 Calibrated non-affine models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 9.9 Is a calibrated one-factor model just as good as a multi-factor model? . . . . . . . 217 9.10 Final remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 9.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

10 Heath-Jarrow-Morton models 221 10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 10.2 Basic assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 10.3 Bond price dynamics and the drift restriction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 10.4 Three well-known special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 10.4.1 The Ho-Lee (extended Merton) model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 10.4.2 The Hull-White (extended Vasicek) model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 10.4.3 The extended CIR model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 10.5 Gaussian HJM models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 10.6 Diffusion representations of HJM models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 10.6.1 On the use of numerical techniques for diffusion and non-diffusion models . 230 10.6.2 In which HJM models does the short rate follow a diffusion process? . . . . 230 10.6.3 A two-factor diffusion representation of a one-factor HJM model . . . . . . 233 10.7 HJM-models with forward-rate dependent volatilities . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 10.8 Concluding remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

11 Market models 237 11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 11.2 General LIBOR market models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 11.2.1 Model description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 11.2.2 The dynamics of all forward rates under the same probability measure . . . 239 11.2.3 Consistent pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 11.3 The lognormal LIBOR market model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 11.3.1 Model description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 Contents vi 11.3.2 The pricing of other securities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 11.4 Alternative LIBOR market models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 11.5 Swap market models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 11.6 Further remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 11.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

12 The measurement and management of interest rate risk 253 12.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 12.2 Traditional measures of interest rate risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 12.2.1 Macaulay duration and convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 12.2.2 The Fisher-Weil duration and convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 12.2.3 The no-arbitrage principle and parallel shifts of the yield curve . . . . . . . 256 12.3 Risk measures in one-factor diffusion models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 12.3.1 Definitions and relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 12.3.2 Computation of the risk measures in affine models . . . . . . . . . . . . . . 260 12.3.3 A comparison with traditional durations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 12.4 Immunization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 12.4.1 Construction of immunization strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 12.4.2 An experimental comparison of immunization strategies . . . . . . . . . . . 265 12.5 Risk measures in multi-factor diffusion models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 12.5.1 Factor durations, convexities, and time value . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 12.5.2 One-dimensional risk measures in multi-factor models . . . . . . . . . . . . 271 12.6 Duration-based pricing of options on bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 12.6.1 The general idea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 12.6.2 A mathematical analysis of the approximation . . . . . . . . . . . . . . . . 274 12.6.3 The accuracy of the approximation in the Longstaff-Schwartz model . . . . 275 12.7 Alternative measures of interest rate risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

13 Mortgage-backed securities 280 13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 13.2 Mortgages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 13.2.1 Level-payment fixed-rate mortgages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 13.2.2 Adjustable-rate mortgages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 13.2.3 Other mortgage types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 13.2.4 Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 13.3 Mortgage-backed bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 13.4 The prepayment option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 13.5 Rational prepayment models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 13.5.1 The pure option-based approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 13.5.2 Heterogeneity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 13.5.3 Allowing for seemingly irrational prepayments . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 13.5.4 The option to default . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 13.5.5 Other rational models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 13.6 Empirical prepayment models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 Contents vii 13.7 Risk measures for mortgage-backed bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 13.8 Other mortgage-backed securities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 13.9 Concluding remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

14 Credit risky securities 298

15 Stochastic interest rates and the pricing of stock and currency derivatives 299 15.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 15.2 Stock options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 15.2.1 General analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 15.2.2 Deterministic volatilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 15.3 Options on forwards and futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 15.3.1 Forward and futures prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 15.3.2 Options on forwards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 15.3.3 Options on futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 15.4 Currency derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 15.4.1 Currency forwards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 15.4.2 A model for the exchange rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 15.4.3 Currency futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 15.4.4 Currency options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 15.4.5 Alternative exchange rate models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 15.5 Final remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 16 Numerical techniques 313 A Results on the lognormal distribution a References I

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