猫爪 发表于 2008-11-25 17:26
3.C 从字典式偏好到连续性上面的链接里面，说过了字典式偏好的非连续性的一个证明思路，但是我们的目标是，如何说明“为确保效用函数存在，我们所需要的前提是：偏好关系是连续的”？教材中给出了一个反证法：用一个从实数到有理数的映射的不可能行，来证明不连续的偏好不存在效用函数。（实事求是，我没看懂，希望有高人能从技术上进一步讲解下。而且这部分的版面安排很奇怪，不知是否是电子版的缘故？）然后就是对理性偏好关系的连续性是效用函数存在及连续的充分条件的证明，大家自己看吧，我没本事用“语言”描述出来。最后的结论就是：1、理性偏好关系的连续性是效用函数存在及连续的充要条件；2、但是并非所有代表偏好的效用函数都是连续的；3、一个连续效用函数的任何递增、但不连续的变换也都代表理性偏好；4、能够代表理性偏好的效用函数不唯一。5、虽然并非所有的效用函数都是可微的，但往往不特殊指出（方便起见）的地方，都假定它是二次可微。6、理性偏好的凸性并不蕴含着效用函数是凹的，而只是意味着它是拟凹的。即u(ax+(1-a)y)>=MIN{u(x),u(y)}存在，但u(ax+(1-a)y)>=au(x)+(1-a)u(y)不一定存在。怎么样，有点晕了吧。

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majesty86 发表于 2010-3-22 14:29 MWG的对于连续性假设就得到连续的效用函数 本来证明就只证了一部分~

猫爪 发表于 2008-11-28 18:22
以下是引用sungmoo在2008-11-28 7:57:00的发言：我们平常处理的问题大部分都是凸规划。可以利用凸集的良好性质讨论规划的解。凸集的一个特点是，“两点连线”仍然在凸集中，这样可以“以点代线，以线代面，以面代体……”（凸集的任一点可由“边界”的凸组合表示），从而大大简化了分析。拟凹函数与集合的凸性有着密切关系。是我搞错了，我想成了“凸分析”，然后又想到了那本《Convex Analysis》（ R.TYRREll Rock Affellar ）。 当时腿就软了。 顺便罗嗦几句：
        拟凹函数，就是相对坐标横轴，图像里没有下凸现象的曲线。
        亦即对任意两点x、y属于定义域，f(ax+(1-a)y)>=min[f(x), f(y)]。
        若函数是拟凹的，当且仅当其定义域的所有上轮廓集(upper contour set)都是凸的。
        对于效用函数来说，偏好是凸的，当且仅当效用函数是拟凹的。