0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I Local Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.1 The Implicit Function Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.2 The Method of Lyapunov–Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I.3 The Lyapunov–Schmidt Reduction
for Potential Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
I.4 An Implicit Function Theorem for
One-Dimensional Kernels: Turning Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
I.5 Bifurcation with a One-Dimensional Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
I.6 Bifurcation Formulas (Stationary Case) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
I.7 The Principle of Exchange of Stability
(Stationary Case) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
I.8 Hopf Bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
I.9 Bifurcation Formulas for Hopf Bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
I.10 A Lyapunov Center Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
I.11 Constrained Hopf Bifurcation for Hamiltonian,
Reversible, and Conservative Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
I.11.1 Hamiltonian Systems: Lyapunov Center Theorem
and Hamiltonian Hopf Bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
I.11.2 Reversible Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
I.11.3 Nonlinear Oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
I.11.4 Conservative Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
I.12 The Principle of Exchange of Stability
for Hopf Bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
I.13 Continuation of Periodic Solutions
and Their Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
I.13.1 Exchange of Stability at a Turning Point . . . . . . . . . . . . . 94
I.14 Period-Doubling Bifurcation
and Exchange of Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

III.2 Local Bifurcation for Elliptic Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
III.2.1 Bifurcation with a One-Dimensional Kernel . . . . . . . . . . . 233
III.2.2 Bifurcation with High-Dimensional Kernels . . . . . . . . . . . 238
III.2.3 Variational Methods I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
III.2.4 Variational Methods II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
III.2.5 An Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
III.3 Free Nonlinear Vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
III.3.1 Variational Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
III.3.2 Bifurcation with a One-Dimensional Kernel . . . . . . . . . . . 261
III.4 Hopf Bifurcation for Parabolic Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
III.5 Global Bifurcation and Continuation
for Elliptic Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
III.5.1 An Example (Continued) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
III.5.2 Global Continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
III.6 Preservation of Nodal Structure
on Global Branches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
III.6.1 A Maximum Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
III.6.2 Global Branches of Positive Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . 285
III.6.3 Unbounded Branches of Positive Solutions . . . . . . . . . . . . 290
III.6.4 Separation of Branches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
III.6.5 An Example (Continued) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
III.6.6 Global Branches of Positive Solutions
via Continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
III.7 Smoothness and Uniqueness of
Global Positive Solution Branches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
III.7.1 Bifurcation from Infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
III.7.2 Local Parameterization of Positive Solution Branches
over Symmetric Domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
III.7.3 Global Parameterization of Positive Solution Branches
over Symmetric Domains and Uniqueness . . . . . . . . . . . . . 320
III.7.4 Asymptotic Behavior at
u
∞ = 0 and
u
∞ = ∞. . . . . 325
III.7.5 Stability of Positive Solution Branches . . . . . . . . . . . . . . . 329
III.8 Notes and Remarks to Chapter III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343