所以，不能用具体的某个生产函数的形式，必须用规模报酬递增的定义式来证明才行啊。

根据定义,拟凹函数是上等值集为凸集的函数,据此判断f(x)=x^2并不是个拟凹函数,它是拟凸函数,而且它是凸函数.

如果一函数是凸函数,根据定义,对于0<a<1有:f[a*x1+(1-a)*x2]<a*f(x)+(1-a)*f(x2). 令y1=f(x1), y2=f(x2), 那么(y1, x1), (y2, x2)都在生产可能集Y中,而(a*y1+(1-a)*y2, a*x1+(1-a)*x2)不在Y中,因为y=f(x)是生产可能集中对应x最大的产出,而a*y1+(1-a)*y2>f[a*x1+(1-a)*x2]. 从而命题得证.

我以为最大的问题在于如何由"单调且规模报酬递增"推出生产函数为凸函数.

学习了

我不懂微观，但凸函数不一定可微，但一定连续，左右导数都存在，但不一定相等，可能在你们学经济的都是可微的吧。

关于生产的凸函数：

见于：平新乔的《微观经济学十八讲》第93页：

生产技术的性质

我们通常假定，生产技术具有以下两个性质：

1、单调性。单调性是指，如果你在至少一种生产要素上增加了投入，那么产出量应该至少等于你原先的生产量。这一性质有时被称为是“自由处置”（free disposal）：既企业可以无代价地处置任何投入品，拥有超额的投入品至少不会损害企业。

2、凸性：这是指：如果你有两种方法（x1,x2)，（z1,z2)去生产y单位的产出，那么，上述两种方法的加权平均，至少能生产出同样多的产出量。

类似于无差异曲线的凸性一样。

上述的性质与规模报酬递增问题，并不一定需要求导。

也不一定用上导数。

我回头写一个详细的证明吧。

应当根据定义可以推广到多种要素的凸函数问题。

当然了，规模报酬递增的定义也得推广到多种要素的问题。

上等值集也可以是一维点集。

上等值集可以是一维点集没问题,但f(x)=x^2的开口向上的,它的上等值集并不是凸集,而f(x)=-x^2的上等值集才是凸集.

上等值集是定义域的子集。

用反证法。

设生产函数是y=f(x)。若生产可能集Y是凸的，则∀(y1,-x1),(y2,-x2)∈Y，0≤t≤1：(ty1+(1-t)y2,-tx1-(1-t)x2))∈Y。于是，tf(x1)+(1-t)f(x2)≤f(tx1+(1-t)x2)。

y=f(x)是严格规模报酬递增的，等价于，∀a>1,x>0：f(ax)>af(x)

由此可知，∀0<t<1：tf(x)>f(tx)

于是，tf(x)+(1-t)f(0)>f(tx+(1-t)0)

这与Y是凸的矛盾。

（f(0)=0）

若∀a>1,x>0：f(ax)>af(x)

则∀0<t<1,x>0：f(x/t)>f(x)/t，用tx代换x，得到tf(x)>f(tx)

谢谢sungmoo版主,这次我完全同意你的思路,我认为这就是这道题的正确答案了.以后有问题应该多向你请教.

也很感谢万岁教主和其他积极参与讨论的同学.