<p>看到了有人问关于学习德布鲁的价值理论需要什么样的数学基础时，给与的恢复。原本是想只是回帖而已，然而，感觉可能另发主题贴还是有点更多的作用的，尤其是我认为肯定还是有很多人为类似的问题，比如如何学习不动点理论？经济数学的泛函分析部分应用有哪些？等等所困扰，然而正如我自己当时自学的一样，很多时候感觉经济数学，尤其是涉及到现代数学部分，感觉它本身就好像一个圆形结构，从哪儿入手都感觉有很多更基本的知识没有掌握，而且也不知道该如何自然的列出如何一步一步自然的学习他们的书籍来。现在我愿意将我的不成熟的认识和所学的书籍摆列出来，就是为了能够对如我一样想认真学习经济数学而又感觉不知道如何开始的人提供一点点的建议而已。说这些根本就不是故作谦虚，因为我本人只是大学毕业之后才开始自己学习经济学和数学，大学中根本没有学习，也不是理科的学生，现在也没有人教导，可见我的认识有多么肤浅和偏狭了，所以说的书籍和一些不成熟的意见希望不要笑话。其实德布鲁的前面的数学知识汇总已经说明了所用的数学的范围了。当然，如果仅仅是看看这些罗列的东西，肯定不是特别的清楚熟练的应用的。经济学用的数学和数学书籍之间的区别很大程度在于经济数学用到那一部分数学的时候，常常要求我们在某一方向上更加深入，并且要求对一些数学结果更熟练的运用的。德布鲁所用到的数学，正如他自己说的那样，经典结果就是不动点定理和分离定理了，前者是纳什在纳什均衡中引进经济学的角谷静夫定理，后者是凸集理论中最核心的定理之一。而这些的共同基础，就是泛函分析了。我刚才说了，如果仅仅是看一看一些知识，可能就是每个定理都看明白了最后也会感觉没有什么收获的。我感觉还是认真的学习数学基础最重要---知识没有弯路，花很长时间学习的知识会在很长时间起到意料之外的作用。不说这些，我想说的是即便认真的学习，还是有一些书籍是能够稍微自然一点的学到这些的。我只能列出我学习过程用的书籍了，当然我相信肯定有更好的学习书籍的。</p><p>       德布鲁的数学介绍与其说是泛函分析部分的内容，其实应该叫点集拓扑更合适，可以找到一本这一类的书籍来仔细阅读的，一开始的集合论可能还是不习惯，这样我再推荐R 柯朗的微积分及数学分析引论这本书，这就是数学系的微积分书籍了，第一卷第一册第一章和第二卷第一册第一章可以看成是集合理论的入门，这样如果先看这些再学习点集拓扑论，就应该自然一点了，其实点集拓扑内容这么多，德布鲁关键用的就是那几个很经典的结论而已，比如用N维欧式空间描述经济学“世界“等等。你会发现，点集拓扑学其实就是一种语言而已，是一种进入到现代数学或者说在经济学中摆脱微积分应用的一门基本语言而已，为了熟悉语言应该怎么办，就是不断的练习和使自己适应它，呵呵。然而这些介绍完成之后，我要单单说一下分离定理和不动点理论。对于第一个定理，其实在很多书籍中（泛函分析）都有介绍，就是闵科夫斯基泛函中（凸泛函）的BANAHA定理。我建议看一本俄罗斯的教材，是柯尔莫戈洛夫的函数论和泛函分析初步，里面就有介绍，其实如果看它了，就可以不看前面的点集拓扑学书籍了，因为它就是说点集拓扑内容的，看完柯朗的书籍就直接看它很自然的。这个分离定理是德布鲁在证明最优与均衡关系时用的。也称为支撑超平面定理，应该认真掌握的，尤其是证明存在性命题中也有用到，整个非线性规划理论基础定理 库恩-塔克定理的证明就用到了这个。然后就是不动点定理了。我想关于它介绍的系统一点，其实整个经济学的关于存在性证明中还很难找到不是用它来做的，鉴于如此的重要性和应用的广泛性，再怎么学习，掌握它都是应该的。关于定理我还是推荐找到一本不动点定理的书籍学习，在掌握点集拓扑之后学习它应该还是自然的，然而我想重点介绍两个定理：在经济学上用到最多的是这样的两个：压缩映射原理和角谷静夫定理，前者尤其适合古典分析（不是现代数学分析）部分用到的，证明存在性的时候，比如罗伯特卢卡斯的经典论文，预期及货币中性一文的证明就是用到这个的。它有最广泛的应用。其实在柯尔莫戈洛夫的书中就有专门介绍，尤其是用它证明积分方程存在的一章中，然而关于它的更好的应用，也是为了能够熟练的掌握它，我还是介绍一本数学教材：常微分方程。是庞特李雅金写的，里面的第四章（前三章不看学习第四章一点也没有问题，但当然你该从第一章中知道问题是什么）就是介绍怎样用压缩映射来证明微分方程的存在性的，而附录中有用它证明了隐函数存在性的，非常完整。然后就是角谷静夫定理了，当然推荐那只有32开一页纸的纳什的经典的论文：N人博弈的均衡点。不过说实话可能因为说明的太简略根本就学不到什么东西，呵呵，证明也没有系统明白的介绍。推荐在任何一本博弈论教材中学习它的应用。然后就是看它怎样推广的了。可以在库恩主编的博弈论经典中看看海撒尼和泽尔腾是怎么精巧的应用的。还有德布鲁1952年的一个纳什均衡的推广证明，这些仔细学习，可能就应该掌握了。我刚才说了：这肯定需要太长的时间（即便学习时还是比较自然的），好像不如看一些数学速成的一类书籍，但是当认真仔细的学习之后，你会发现你已经将整个经济数学的核心部分都学完成了。所谓知识没有弯路。我不知道自己说的如何，如果可能我还想放肆的介绍一下动态数学的内容，或者说介绍常微分方程，偏微分方程，动态规划，随机微分方程，积分方程之间是怎么联系的并且如何作为古典分析的一个整体应用于经济学中的。不过我没有时间了，因为即便是这些东西，好像我们的主任就在盯着我干什么了，呵呵。<br/></p>