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2016-01-21
假设效用函数是U=U(x,y),约束条件是z=f(x,y),则可以构造拉格朗日函数为L=U(x,y)+r[z-f(x,y)],然后让L对x,y,r分别求导。
我的疑惑是:(1)对x求导时需要考虑y是x的函数吗?(2)为什么可以认为z是常数?万一z是变量怎么办?况且z本来就是x,y的函数,为什么在求导时可以当做常数对待呢?
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2016-1-21 21:44:06
1.不需要考虑(如果考虑的话,就是比较静态分析了,这是另一块内容)。
2.如果z是变量,那就是0=f(x,y)-z
约束条件是是z=f(x,y)并不是说z是x,y的函数。z就是个常数。例如2 =  x+lny。这样的约束条件(暗含了x是y的函数)。
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2016-1-21 22:38:26
newhotter 发表于 2016-1-21 21:44
1.不需要考虑(如果考虑的话,就是比较静态分析了,这是另一块内容)。
2.如果z是变量,那就是0=f(x,y)-z
...
谢谢这位同学的答复,我是这么认为的:
1.y可以是x的函数,从数学上的隐函数求导规则来说是必须考虑这一点
2.z可以是变量,但是如果是变量的话必须加上另外一个等式才能求出z关于x的函数形式
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2016-1-22 11:01:04
这个主要谈的是optimization 中的comparative study。
经济学家通常研究一个因素对另一个因素的影响,比如利息对房价的影响。在这个分析的过程中,其他的影响因素,比如证券价格,房屋供给等就得被控制住。因为如果有两个因素都在变,你怎么知道房价到底是被哪个影响的?
在这个方程中,求导应该是求 偏微分。x诚然会影响y,但是我们关心的是y怎么影响u。你也可以分析x怎么影响y的,这时候就要把u控制住,也就是令其为某一常数水平。MRS就是y对x的导数。
至于z,此为外生变量,当然应该理解为常数。不然还怎么约束x和y呢?
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2016-1-22 12:31:25
cbw1243 发表于 2016-1-22 11:01
这个主要谈的是optimization 中的comparative study。
经济学家通常研究一个因素对另一个因素的影响,比如 ...
假设抽象约束条件z=f(x,y),设z=2x+3y+5等价于z-x=x+3y+5
那么我也可以把上述约束条件写成z'=x+3y+5
再变换成抽象式子:z'=z-x=f'(x,y)
那么现在还能认为z‘是常数吗?
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2016-1-22 19:38:34
z可以是变量。就看你怎么看。求偏导的本质是只有求到的变量才是变量,其他字符都是常数。这是偏导数定义。对x求导,y就是常数。对y求导,x就是常数。拉格朗日里z是常数,但是对应拉格朗日定理的信封定理中z就是变量。所以变量和常数没有明确界限。
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