Discrete Time Modelling and Derivative Securities

Contents
Contents ii
List of Figures iv
1 A simple market model 1
1.1 Market assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Viability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 The Extended No-Arbitrage Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Example of a pricing problem: pricing a call option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 Risk-neutral probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7 Risk and return . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Single-period models 18
2.1 Modeling assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Example: incompleteness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Single-stock models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Viability with several stocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 Risk-neutral pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6 Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Arbitrage pricing in discrete time: models with several time steps 44
3.1 General modelling assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Price evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.1 Discounting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3 Trading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4 Viability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5 Derivative securities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5.1 Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5.2 Forwards and futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5.3 Swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6 Pricing by replication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.7 Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
ii
4 Risk-neutral pricing in discrete time 67
4.1 Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1.1 Ft-measurability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2 Equivalent martingale measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.1 Measures on
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.2 Conditional Expectation and Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.2.3 Equivalent Martingale measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.3 Viability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.4 Pricing in a viable model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5 Viability revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.6 Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.7 Superhedging in Incomplete models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5 Cox-Ross-Rubinstein Binomial Models 96
5.1 Description of a CRR Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.2 Viability of a CRR model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.3 The Cox-Ross-Rubinstein formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.4 Binomial and complementary binomial distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.5 Hedging strategies in a CRR model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.6 From Cox-Ross-Rubinstein to Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6 American options 114
6.1 American call and put options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.2 Comparison of American and European calls and puts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.3 General American options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.4 Pricing an American option in a complete model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.4.1 Supermartingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.5 Optimal exercise of American options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.5.1 Stopping times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.6 Hedging American Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.6.1 Hedging for the owner of an American option. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.6.2 Hedging for the writer (seller) of an American option . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.7 Appendix: Supermartingales, stopping times and Snell envelope . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Bibliography 136