Tools for Computational Finance
丛书 Universitext
学科 Mathematics, Numerical Analysis and Quantitative Finance
出版社 Springer Berlin Heidelberg
DOI 10.1007/978-3-540-92929-1
版权 2009
ISBN 978-3-540-92928-4 (Print) 978-3-540-92929-1 (Online)
学科分类 数学和统计学
学科 Mathematics, Numerical Analysis and Quantitative Finance
SpringerLink Date 2009年4月3日
Contents
Prefaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V
Contents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XV
Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIX
Chapter 1 Modeling Tools for Financial Options . . . . . . . . . . 1
1.1 Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Model of the Financial Market . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Numerical Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 The Binomial Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Risk-Neutral Valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6 Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6.1 Wiener Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6.2 Stochastic Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.7 Diffusion Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.7.1 Itˆo Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.7.2 Geometric Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.7.3 Risk-Neutral Valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.7.4 Mean Reversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.7.5 Vector-Valued SDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.8 Itˆo Lemma and Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.8.1 Itˆo Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.8.2 Consequences for Stocks and Options . . . . . . . . . . . . . 43
1.8.3 Integral Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.8.4 Bermudan Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.8.5 Empirical Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.9 Jump Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.10 Calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Notes and Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Chapter 2 Generating Random Numbers with Specified
Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.1 Uniform Deviates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.1.1 Linear Congruential Generators . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
XV
XVI Contents
2.1.2 Quality of Generators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.1.3 Random Vectors and Lattice Structure . . . . . . . . . . . . 72
2.1.4 Fibonacci Generators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.2 Extending to Random Variables From Other Distributions . 77
2.2.1 Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.2.2 Transformations in IR1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.2.3 Transformation in IRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.3 Normally Distributed Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.3.1 Method of Box and Muller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.3.2 Variant of Marsaglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.3.3 Correlated Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.4 Monte Carlo Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.5 Sequences of Numbers with Low Discrepancy . . . . . . . . . . . . . 88
2.5.1 Discrepancy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.5.2 Examples of Low-Discrepancy Sequences . . . . . . . . . . 90
Notes and Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Chapter 3 Monte Carlo Simulation with Stochastic
Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.1 Approximation Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.2 Stochastic Taylor Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.3 Examples of Numerical Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.4 Intermediate Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.5 Monte Carlo Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.5.1 Integral Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.5.2 Basic Version for European Options . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.5.3 Bias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.5.4 Variance Reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.5.5 Application to an Exotic Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.6 Monte Carlo Methods for American Options . . . . . . . . . . . . . 126
3.6.1 Stopping Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.6.2 Parametric Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.6.3 Regression Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.6.4 Other Methods, and Further Hints . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Notes and Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Chapter 4 Standard Methods for Standard Options . . . . . . . 141
4.1 Preparations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.2 Foundations of Finite-Difference Methods . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.2.1 Difference Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.2.2 The Grid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.2.3 Explicit Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Contents XVII
4.2.4 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.2.5 An Implicit Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.3 Crank-Nicolson Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.4 Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.5 American Options as Free Boundary Problems . . . . . . . . . . . 158
4.5.1 Early-Exercise Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.5.2 Free Boundary Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.5.3 Black-Scholes Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.5.4 Obstacle Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.5.5 Linear Complementarity for American Put Options . 167
4.6 Computation of American Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.6.1 Discretization with Finite Differences . . . . . . . . . . . . . 169
4.6.2 Reformulation and Analysis of the LCP . . . . . . . . . . . 171
4.6.3 An Algorithm for Calculating American Options . . . . 174
4.7 On the Accuracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.7.1 Elementary Error Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4.7.2 Extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.8 Analytic Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
4.8.1 Approximation Based on Interpolation . . . . . . . . . . . . 185
4.8.2 Quadratic Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
4.8.3 Analytic Method of Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Notes and Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Chapter 5 Finite-Element Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.1 Weighted Residuals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
5.1.1 The Principle of Weighted Residuals . . . . . . . . . . . . . . 205
5.1.2 Examples of Weighting Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
5.1.3 Examples of Basis Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5.2 Galerkin Approach with Hat Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.2.1 Hat Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.2.2 Assembling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.2.3 A Simple Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
5.3 Application to Standard Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
5.3.1 European Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.3.2 Variational Form of the Obstacle Problem . . . . . . . . . 216
5.3.3 American Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.4 Application to an Exotic Call Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5.5 Error Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
5.5.1 Strong and Weak Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
5.5.2 Approximation on Finite-Dimensional Subspaces . . . 228
5.5.3 C´ea’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Notes and Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
XVIII Contents
Chapter 6 Pricing of Exotic Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
6.1 Exotic Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
6.2 Options Depending on Several Assets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
6.3 Asian Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
6.3.1 The Payoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
6.3.2 Modeling in the Black-Scholes Framework . . . . . . . . . 241
6.3.3 Reduction to a One-Dimensional Equation . . . . . . . . . 242
6.3.4 Discrete Monitoring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
6.4 Numerical Aspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
6.4.1 Convection-Diffusion Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
6.4.2 Von Neumann Stability Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
6.5 Upwind Schemes and Other Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
6.5.1 Upwind Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
6.5.2 Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
6.6 High-Resolution Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
6.6.1 Lax-Wendroff Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
6.6.2 Total Variation Diminishing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
6.6.3 Numerical Dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
Notes and Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
Appendices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
A Financial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
A1 Investment and Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
A2 Financial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
A3 Forwards and the No-Arbitrage Principle . . . . . . . . . . 269
A4 The Black-Scholes Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
A5 Early-Exercise Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
B Stochastic Tools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
B1 Essentials of Stochastics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
B2 Advanced Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
B3 State-Price Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
B4 L´evy Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
C Numerical Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
C1 Basic Numerical Tools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
C2 Iterative Methods for Ax = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
C3 Function Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
C4 Minimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
D Complementary Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
D1 Bounds for Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
D2 Approximation Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
D3 Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325