海盗分金币问题的拓展

BIT小佳同学

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收藏 2016-04-01

喜闻乐见分金币：五个海盗的经典问题及其拓展（加入非理性人）
  先引用本山大叔的一句话：讲一个老题！这个问题你是答过的：
5个海盗抢得100枚金币后，讨论如何进行分配。他们商定的分配原则是：
（1）抽签确定各人的分配顺序号码（1，2，3，4，5）；
（2）由抽到1号签的海盗提出分配方案，然后5人进行表决，如果方案得到超过半数（注意，是超过半数）的人同意，就按照他的方案进行分配，否则就将1号扔进大海喂鲨鱼；
（3）如果1号被扔进大海，则由2号提出分配方案，然后由剩余的4人进行表决，当超过半数的人同意时，才会按照他的提案进行分配，否则也将被扔入大海；依此类推。
（4）各人同不同意分配方案要写在纸上提交，等都提交后，再打开公示。不能串通。
（5）这4人都以保命为第一位。

但是我们现在加入非理性人因素：
5个海盗中有4个是理性人，这4人知道海盗中有一个非理性人，但不知道是谁。4个理性人都知道非理性人的分配原则：当理性人的提案中，非理性人得到的金币数量大于或等于100÷人数（死了的人不算）时，非理性人才会同意。由非理性人提出分配方案时，其会提出按人数平均分配金币；只有当其是4号时，非理性人会给5号100金币。
（指相对的平均分配，比如3人分100金币时，非理性人会提出34、33、33的分配方案，自己多得1个金币）

问题：如果你1号，且你是理性人，你会怎么分配？
思路：
1：1号至少可以拿到20个金币，因为他可以提出（20，20，20，20，20）的分配方案来冒充非理性人。
2：当1号的分配方案所收买的某人的金币数，大于1号死去后，后面的方配方案所给金币的期望值时，其就会同意这提案。因此，1号的提案要考虑到2号的提案；而2号的提案又要考虑到3号的提案；而3号的提案又要考虑到4号的提案。所以先要从只有二人时开始分析。
3：此题要研究理性人心理的期望值，就需要站在理性人的角度思考。所以在逆推时，要假定有可能被收买的人是理性人，这样才能算出理性人心理的期望值。

二人时：
如果4号是理性人，分配方案是（50，50）
如果5号是理性人，分配方案是（0，100）

三人时，有两种情况：
①3号是非理性人
3号的分配方案是（34，33，33）
注意：这里是分析理性人的想法，所以要假定4、5号是理性人，那么，站在4、5号的角度想，3号是非理性人的概率是1/2，而不是1/3。
那么，4号的期望是33/2；5号的期望是33/2

②3号有1/2的概率是理性人
如果4号是理性人，在4号看来，3号死后4号的收益是50
如果5号是理性人，在5号看来，3号死后5号的收益是100
所以，3号的分配方案是（49，51，0）
4号的期望是51/2；5号的期望是0
以上两种情况的期望合计：4号的期望42；5号的期望33/2

四人时，有两种情况：
①2号有1/3的概率是非理性人
2号的分配方案是（25，25，25，25）
3、4、5号的期望都是25/3
（再次说明：比如站在理性人3号的角度想，1号死后，2号是非理性人的概率是1/3，而不是1/4）
②2号有2/3的概率是理性人
分析：3号50可收买；4号43可收买；5号17可收买。应该收买4、5号，考虑到5号有可能是非理性人，所以应给他25个金币。
2号的分配方案是（32，0，43，25）
3号的期望是0
4号的期望是43*2/3=86/3
5号的期望是25*2/3=50/3
以上两种情况的期望合计：3号的期望25/3；4号的期望37；5号的期望25

五人时：
分析：2号33可收买；3号9可收买；4号38可收买；5号26可收买。1号应该收买3、5号。考虑到3号有可能是非理性人，所以应给他20个金币。
答案是：（54，0，20，0，26）

思考题：其他条件不变，总人数是6、7、8人时，最优策略分别是什么？
五人时，有两种情况：
①1号有1/4的概率是非理性人
1号的分配方案是（20，20，20，20，20）
2-5号期望都是5
②1号有3/4的概率是理性人
1号的分配方案是（54，0，20，0，26）
2-5号的期望分别是：0，15，0，19.5
以上两种情况的期望合计：2-5号：5，20，5，24.5

六人时，有两种情况：
①第1号有1/5的概率是非理性人
第1号的分配方案是（20，16，16，16，16，16）
第2-6号期望都是3.2
②第1号有4/5的概率是理性人
第1号的分配方案是（45，0，17，21，17，0）
第2-6号的期望分别是：0，13.6，16.8，13.6，0
以上两种情况的期望合计：2-6号：3.2，16.8，20，16.8，3.2

七人时，有两种情况：
①第1号有1/6的概率是非理性人
第1号的分配方案是（16，14，14，14，14，14，14）
第2-6号期望都是7/3
②第1号有5/6的概率是理性人
第一种方案：收买3个人
第1号的分配方案是（53，0，15，17，0，0，15）或（53，0，15，0，0，17，15）
第二种方案：收买4个人，其中必有3个人同意
（58，0，4，17，0，17，4）
第二种方案更优

第2-7号的期望分别是：0，10/3，85/6，0，85/6，10/3
以上两种情况的期望合计：2-7号：7/3，17/3，16.5，7/3，16.5，17/3
各人收买所需金币数：3，6，17，3，17，6

八人时：
第1号理性人的分配方案：
第一种方案：收买4个人
（48，0，13，0，13，13，13，0）
第二种方案：收买5个人，其中必有4人同意
（65，0，3，6，17，3，0，6）或（65，0，3，6，0，3，17，6）
第二种方案更优
九人时，有两种情况：
①第1号有1/8的概率是非理性人
第1号的分配方案是（12，11，11，11，11，11，11，11，11）
第2-9号期望都是11/8
②第1号有7/8的概率是理性人
第1号的分配方案是：（74，0，2，5，7，0，5，0，7）
（收买5人，其中必有4人同意）
第2-9号的期望分别是：0，14/8，35/8，49/8，0，35/8，0，49/8
以上两种情况的期望合计：2-9号：1.375，3.125，5.75，7.5，1.375，5.75，1.375，7.5

十人时：
1号理性人的分配方案是：收买6个人，其中必有5个人同意。
（78，0，2，4，6，0，2，6，2，0）

小计：
二人时（50，50）
三人时（49，51，0）
四人时（32，0，43，25）
五人时（54，0，20，0，26）
六人时（45，0，17，21，17，0）
七人时（58，0，4，17，0，17，4）
八人时（65，0，3，6，17，3，0，6）或（65，0，3，6，0，3，17，6）
九人时（74，0，2，5，7，0，5，0，7）
十人时（78，0，2，4，6，0，2，6，2，0）

好像有规律是：人数越多时，各人的期望值越小，而且多收买一人的成本也越小，1号更可能采用多收买一人的方式。人数增多时，1号的收益可能越大。但是，随着人数的不断增多，而收买各人至少要支出1个金币，1号的收益又会下降。随着人数的变化，1号的收益是条抛物线。人数多到一定程度时，1号必死。
  是不是很有趣？我们再来看一种有意思的想法：
当1号的分配方案给理性人的金币数小于非理性人同意数时，理性人可能会冒充非理性人不同意，从而让2号以为他是非理性人，使得2号给他更多金币。因此，1号给他人的金币数必须不小于非理性人同意数。
  是这样的么？
这种说法不成立，理由是：冒充非理性人无法让2号改变策略。
例如：七人时，如果3号和7号不同意（58，0，4，17，0，17，4）。到六人时，如果2号是非理性人，其不会改变策略；如果2号是理性人，其策略依然是（45，0，17，21，17，0）。所以3号和7号的期望并没有变化，那么3号和7号中的理性人就应该同意当初1号的分配方案。
再例如：
八人时，如果4号和8号不同意（65，0，3，6，17，3，0，6）。到七人时，2号理性人的方案依然是（58，0，4，17，0，17，4），因为2号知道自己给的4个金币大于了自己死后4号和8号的期望。因为冒充非理性人，无法让2号改变策略，所以4号和8号中的理性人不会冒充非理性人，其会同意1号的分配方案。
总结：
冒充非理性人，是想让后面的分配者改变策略。但是，从最后一个不会因有人冒充而改变策略的分配者逆推：其前一轮不会有人冒充，那么前一轮的分配者的策略是固定的，因此前一轮的前一轮不会有人冒充，那么前一轮的前一轮的分配者的策略是固定的，那么前一轮的前一轮的前一轮不会有人冒充……  人数更多会怎样呢？非理性人更多会怎样呢？大家不妨思考一下。
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（转自百度贴吧经济学吧）