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2016-04-01
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喜闻乐见分金币:五个海盗的经典问题及其拓展(加入非理性人)
  先引用本山大叔的一句话:讲一个老题!这个问题你是答过的:
5个海盗抢得100枚金币后,讨论如何进行分配。他们商定的分配原则是:
(1)抽签确定各人的分配顺序号码(1,2,3,4,5);
(2)由抽到1号签的海盗提出分配方案,然后5人进行表决,如果方案得到超过半数(注意,是超过半数)的人同意,就按照他的方案进行分配,否则就将1号扔进大海喂鲨鱼;
(3)如果1号被扔进大海,则由2号提出分配方案,然后由剩余的4人进行表决,当超过半数的人同意时,才会按照他的提案进行分配,否则也将被扔入大海;依此类推。
(4)各人同不同意分配方案要写在纸上提交,等都提交后,再打开公示。不能串通。
(5)这4人都以保命为第一位。

但是我们现在加入非理性人因素:
5个海盗中有4个是理性人,这4人知道海盗中有一个非理性人,但不知道是谁。4个理性人都知道非理性人的分配原则:当理性人的提案中,非理性人得到的金币数量大于或等于100÷人数(死了的人不算)时,非理性人才会同意。由非理性人提出分配方案时,其会提出按人数平均分配金币;只有当其是4号时,非理性人会给5号100金币。
(指相对的平均分配,比如3人分100金币时,非理性人会提出34、33、33的分配方案,自己多得1个金币)

问题:如果你1号,且你是理性人,你会怎么分配?
思路:
1:1号至少可以拿到20个金币,因为他可以提出(20,20,20,20,20)的分配方案来冒充非理性人。
2:当1号的分配方案所收买的某人的金币数,大于1号死去后,后面的方配方案所给金币的期望值时,其就会同意这提案。因此,1号的提案要考虑到2号的提案;而2号的提案又要考虑到3号的提案;而3号的提案又要考虑到4号的提案。所以先要从只有二人时开始分析。
3:此题要研究理性人心理的期望值,就需要站在理性人的角度思考。所以在逆推时,要假定有可能被收买的人是理性人,这样才能算出理性人心理的期望值。

二人时:
如果4号是理性人,分配方案是(50,50)
如果5号是理性人,分配方案是(0,100)

三人时,有两种情况:
①3号是非理性人
3号的分配方案是(34,33,33)
注意:这里是分析理性人的想法,所以要假定4、5号是理性人,那么,站在4、5号的角度想,3号是非理性人的概率是1/2,而不是1/3。
那么,4号的期望是33/2;5号的期望是33/2

②3号有1/2的概率是理性人
如果4号是理性人,在4号看来,3号死后4号的收益是50
如果5号是理性人,在5号看来,3号死后5号的收益是100
所以,3号的分配方案是(49,51,0)
4号的期望是51/2;5号的期望是0
以上两种情况的期望合计:4号的期望42;5号的期望33/2

四人时,有两种情况:
①2号有1/3的概率是非理性人
2号的分配方案是(25,25,25,25)
3、4、5号的期望都是25/3
(再次说明:比如站在理性人3号的角度想,1号死后,2号是非理性人的概率是1/3,而不是1/4)
②2号有2/3的概率是理性人
分析:3号50可收买;4号43可收买;5号17可收买。应该收买4、5号,考虑到5号有可能是非理性人,所以应给他25个金币。
2号的分配方案是(32,0,43,25)
3号的期望是0
4号的期望是43*2/3=86/3
5号的期望是25*2/3=50/3
以上两种情况的期望合计:3号的期望25/3;4号的期望37;5号的期望25

五人时:
分析:2号33可收买;3号9可收买;4号38可收买;5号26可收买。1号应该收买3、5号。考虑到3号有可能是非理性人,所以应给他20个金币。
答案是:(54,0,20,0,26)

思考题:其他条件不变,总人数是6、7、8人时,最优策略分别是什么?
五人时,有两种情况:
①1号有1/4的概率是非理性人
1号的分配方案是(20,20,20,20,20)
2-5号期望都是5
②1号有3/4的概率是理性人
1号的分配方案是(54,0,20,0,26)
2-5号的期望分别是:0,15,0,19.5
以上两种情况的期望合计:2-5号:5,20,5,24.5

六人时,有两种情况:
①第1号有1/5的概率是非理性人
第1号的分配方案是(20,16,16,16,16,16)
第2-6号期望都是3.2
②第1号有4/5的概率是理性人
第1号的分配方案是(45,0,17,21,17,0)
第2-6号的期望分别是:0,13.6,16.8,13.6,0
以上两种情况的期望合计:2-6号:3.2,16.8,20,16.8,3.2

七人时,有两种情况:
①第1号有1/6的概率是非理性人
第1号的分配方案是(16,14,14,14,14,14,14)
第2-6号期望都是7/3
②第1号有5/6的概率是理性人
第一种方案:收买3个人
第1号的分配方案是(53,0,15,17,0,0,15)或(53,0,15,0,0,17,15)
第二种方案:收买4个人,其中必有3个人同意
(58,0,4,17,0,17,4)
第二种方案更优

第2-7号的期望分别是:0,10/3,85/6,0,85/6,10/3
以上两种情况的期望合计:2-7号:7/3,17/3,16.5,7/3,16.5,17/3
各人收买所需金币数:3,6,17,3,17,6

八人时:
第1号理性人的分配方案:
第一种方案:收买4个人
(48,0,13,0,13,13,13,0)
第二种方案:收买5个人,其中必有4人同意
(65,0,3,6,17,3,0,6)或(65,0,3,6,0,3,17,6)
第二种方案更优
九人时,有两种情况:
①第1号有1/8的概率是非理性人
第1号的分配方案是(12,11,11,11,11,11,11,11,11)
第2-9号期望都是11/8
②第1号有7/8的概率是理性人
第1号的分配方案是:(74,0,2,5,7,0,5,0,7)
(收买5人,其中必有4人同意)
第2-9号的期望分别是:0,14/8,35/8,49/8,0,35/8,0,49/8
以上两种情况的期望合计:2-9号:1.375,3.125,5.75,7.5,1.375,5.75,1.375,7.5

十人时:
1号理性人的分配方案是:收买6个人,其中必有5个人同意。
(78,0,2,4,6,0,2,6,2,0)

小计:
二人时(50,50)
三人时(49,51,0)
四人时(32,0,43,25)
五人时(54,0,20,0,26)
六人时(45,0,17,21,17,0)
七人时(58,0,4,17,0,17,4)
八人时(65,0,3,6,17,3,0,6)或(65,0,3,6,0,3,17,6)
九人时(74,0,2,5,7,0,5,0,7)
十人时(78,0,2,4,6,0,2,6,2,0)

好像有规律是:人数越多时,各人的期望值越小,而且多收买一人的成本也越小,1号更可能采用多收买一人的方式。人数增多时,1号的收益可能越大。但是,随着人数的不断增多,而收买各人至少要支出1个金币,1号的收益又会下降。随着人数的变化,1号的收益是条抛物线。人数多到一定程度时,1号必死。
  是不是很有趣?我们再来看一种有意思的想法:
当1号的分配方案给理性人的金币数小于非理性人同意数时,理性人可能会冒充非理性人不同意,从而让2号以为他是非理性人,使得2号给他更多金币。因此,1号给他人的金币数必须不小于非理性人同意数。
  是这样的么?
这种说法不成立,理由是:冒充非理性人无法让2号改变策略。
例如:七人时,如果3号和7号不同意(58,0,4,17,0,17,4)。到六人时,如果2号是非理性人,其不会改变策略;如果2号是理性人,其策略依然是(45,0,17,21,17,0)。所以3号和7号的期望并没有变化,那么3号和7号中的理性人就应该同意当初1号的分配方案。
再例如:
八人时,如果4号和8号不同意(65,0,3,6,17,3,0,6)。到七人时,2号理性人的方案依然是(58,0,4,17,0,17,4),因为2号知道自己给的4个金币大于了自己死后4号和8号的期望。因为冒充非理性人,无法让2号改变策略,所以4号和8号中的理性人不会冒充非理性人,其会同意1号的分配方案。
总结:
冒充非理性人,是想让后面的分配者改变策略。但是,从最后一个不会因有人冒充而改变策略的分配者逆推:其前一轮不会有人冒充,那么前一轮的分配者的策略是固定的,因此前一轮的前一轮不会有人冒充,那么前一轮的前一轮的分配者的策略是固定的,那么前一轮的前一轮的前一轮不会有人冒充……
  人数更多会怎样呢?非理性人更多会怎样呢?大家不妨思考一下。
  欢迎来讨论,一起感受博弈论的魅力~
(转自百度贴吧经济学吧)



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2016-4-3 12:00:05
这个题目挺有意思
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2016-4-3 22:15:53
snowflakes 发表于 2016-4-3 12:00
这个题目挺有意思
哈哈有什么想法么
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BIT小佳同学 发表于 2016-4-3 22:15
哈哈有什么想法么
哈哈,这个得有空了多想想
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2016-4-9 10:24:19
snowflakes 发表于 2016-4-8 23:13
哈哈,这个得有空了多想想
聪明的大脑!
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2016-4-9 17:37:38
BIT小佳同学 发表于 2016-4-9 10:24
聪明的大脑!
没有,不学无术啊。只是曾经第一次听说这个题目时感觉有趣
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