何处是概率天地

有法国牛顿之称的拉普拉斯(Pierre-Simon，Marquis de Laplace， 1749-1827)曾说：

这门源自考虑赌博中的机运之科学，必将成为人类知识中最重要的一部分，生活中最重要的问题中的大部分，都将只是概率的问题(This science， which originated in the consideration of games ofchance， should have become the most important object of human knowledge. Themost important questions of life are， for the most part， really only problemsof probability)。

概率是针对随机现象。但世上并非每件事都是随机的，我们说过还有必然性。假设投掷一两面皆是人头的铜板，并观察会得到那一面。你晓得这是一必然现象，但仍可说会出现人头的概率为1，而其他情况出现的概率为0。也就是视此为一“退化的”随机现象。

某些物理学家，说不定认为对投掷铜板，由给定投掷的速度、角度、地面的弹性、铜板的形状及重量等条件，可算出铜板落地后，会那一面朝上，因此这不是随机。至于乐透彩的开奖，只要起始条件都能测出，则会开出那一号球，也能算出，因此这也不是随机。但你大约也知道所谓蝴蝶效应(butter？y effect)。量测极可能有误差，而有时一些微小的改变，影响却可能很大。因此我们宁可相信这些都是随机现象。

某些神学家，可能认为一切其实都是按照神的旨意在进行，只是我们不知而已。说不定真是如此。你看过杰逊王子战群妖(Jason and the Argonauts)吗？这是一部基于希腊神话的电影，内容与十二星座中的牡羊座有关，1963出品。我虽是幼时看的，至今仍印象深刻。片中杰逊王子遭遇的各种突如其来的灾难，以及一次又一次英勇的逢凶化吉，不过是天后赫拉(Hera)，与天神宙斯(Zeus)在较劲，分别作梗及协助。但若无从了解神的旨意，对于未来，也只好视为随机

随着科技进步，人们逐渐弄明白很多现象的来龙去脉。例如，我们知道女性一旦怀孕，婴儿性别便已确定。但对一大腹便便的妇女，好事者由于不知，仍可猜测其生男生女之概率。考试前夕，学生们虽认真准备，但还是绞尽脑汁猜题，各有其认为考出概率很大的题目。老师获知后，觉得好笑。课堂中已一再暗示明示，那些题会考，几乎都该能确定了，何需再猜？实则试题早已印妥，而学生不知考题，且未体会老师的暗示及明示，所以仍可以大猜一通。另外，诸如门外有人敲门，你好奇是男是女？老师要你猜拿在背后的水果，是橘子或苹果？同学盖住落地的铜板，要你猜正面或反面朝上？这类明明已确定的事，本身其实并不随机，只是对你而言，却有如惠子在秋水篇所说的“子非鱼”，当然可猜鱼快乐的概率。

但对已命好题目的老师，去判断那一题会考出的概率，就没什么意义了。因对他而言，每一题会考出的概率，只有1或0，不会是其他值。同样地，对看到背后水果的人，水果会是橘子或苹果的概率，将只能说1或0。随机与随意不同。我们说过了，概率中那套逻辑，是有够大的弹性，让人能挥洒，只是仍要合理，否则就是抬槓了。若你明明知道那是苹果，硬要说它是橘子的概率为0.5;或明明已从医生处掌握一切讯息的待产妈妈，还说生下来，是男是女的概率皆为0.5，那就不是在谈概率了。

解释概率

在第2节我们以概率空间的方式引进概率。由于样本空间可以是虚拟的，此时事件也就是虚拟的。但假设真的有一项观测，如投掷一个4面体，4面分别标示点数1，2，3，4，并观测所得点数。则样本空间为1，2，3，4之集合。事件的集合可以取那一个最大的，也就是包含样本空间之所有子集所构成的集合。你如果学过排列组合，便知此最大的事件集合中，共有16(2的4次方)个元素。至于概率函数，假设点数1，2，3，4出现的概率，分别为0.1、0.2、0.3，及0.4，相加为1。至于任一事件的概率，就看该事件包含1，2，3，4中那几个数，再把对应的概率相加便是。如一事件中恰包含2，4，则该事件的概率为0.2+0.4=0.6。馀此类推。这就建立了一概率空间。对同一样本空间，可定义出很多不同的概率空间。

就算你已接受了概率空间的概念，反正数学家就是常给一些自得其乐的定义，仍可能会好奇，所谓点数1出现的概率0.1，究竟是什么意思？是每投10次，点数1恰出现1次吗？非也!有个修过概率论的数学系毕业生，好心地对你解释如下：

假设投掷n次，点数1出现a次，则相对频率a/n与0.1之差的绝对值，会大于一给定的正数(不管它多小)之概率，将随着n的趋近至无限大，而趋近至0。

务实的你，很可能不觉得这样的解释很实际。先提出疑问“什么是趋近至无限大？”就是一直投掷，不可停止，日出日落，春去秋来，继续投掷，即使夸父追日成功了，无限大也仍未达到，还得投掷。那位数学系毕业生，一听到你问起无限大，如鱼得水，这是他在数学系四年寒窗，学到的几招独门绝活之一。你不得不停止无限大这个话题，因连夸父追日，你也觉得岂有成功时？如何能接受解释概率，还得涉及无限大？但还一点你不吐不快的是“我就是不了解概率值的意义，怎么却用概率的概念来解释给我听？”

想解释概率值的意义，将会在概率及无限大，一层又一层的打转。这有如想去定义什么叫做点，结果将如同陷在线团中，学步维艰。最后只好说，点是无定义名词。但无论如何，你应可理解，对前述4面体，仅投掷1次，是无法显示点数1出现概率0.1，那个0.1的意思。概率并非只看“少数几次”的结果。概率是在大样本(n很大)下，威力才显现。概率值的意义，既然不能以一套可接受的逻辑来说明。那么退而求其次，可否让人略微了解概率值的意思？或者说(除非是虚拟，只是在求一些概率值)，你拿一4面体，且宣称点数1出现的概率为0.1，怎么样才知道你讲的是真的，而非信口开河，或者说记错。

之前那位数学系毕业生的解释，这时便能派上用场。此即大数法则(law of large numbers)之一简单的版本。数学上的意思为，事件出现的相对频率，会“概率收敛“至事件发生的概率。要知随机世界中，仍有些法则要遵循，大数法则是其中很重要的一个。当然我们已指出了，实际上并无法观测事件无限多次。那是否可说，事件出现的相对频率，当观测数够大，须接近事件发生的概率？也非如此。事件只要概率为正，便都可能发生。所以，不论观测数再大，都不能排除很偏颇(如观测1，000，000次，点数1出现的次数为0，或1，000，000次)的事件发生。但是，这时统计学家跳出来了，可以做一检定，检定点数1出现的概率是否真为0.1，这是属于统计学里假设检定(testing hypothesis)的范畴。简单讲，是以在某一假设下，会观测到这样的结果，是否算不寻常？所谓不寻常，是指发生的概率很小，小于某一预设的值。若属于不寻常，则当初的假设就不宜接受。附带一提，当假设一铜板为公正，则投掷100次，出现至少80次正面，较投掷10次，出现至少8次正面，前者是更不寻常的，因它发生的概率，远比后者小。所以，在同样获得八成以上的正面数下，投掷数愈大，将会使我们更相信此铜板非公正，而接受它出现正面的概率，至少是0.8。这说明在统计里，样本数愈大，将使我们的推论愈精准。

在随机世界，究竟何者为真，常属未知。我们往往无法“证明”那件事是真实的。不过是一个个的假设，端看你接受那一假设。4面体点数1出现的概率，是否真为0.1，即使投掷再多次，都无法证明其真伪。只能说数据显示“可以接受”，或“无法接受”概率为0.1。这里面有一套机制，以决定接受或不接受。

另外，对一4面体，也可估计点数1出现的概率，有一些不同的估计法，可以得到不同的估计量。在数学中，使用不同的方法，须导致相同的结果。所谓殊途同归。但统计里，除非做些限制，否则常无定于一尊的方法。对不可测的未来，我们常要做估计，统计在这方面，能扮演很好的角色。诸如铜板出现正面的概率，及病人的存活率等，皆能估计。但有时觉得以一个值估计，虽然明确，但估计值很难恰好等于真实值，一翻两瞪眼，常估计不准。下节信赖区间的概念，因而产生。

信赖区间

我们常对某一未知的量做估计。未知的量可以是某事件发生的概率，某分布的参数(如期望值及变异数等)，或某物件之寿命等。这些未知的量，可通称为参数。有时会以一区间来估计参数，并给出此区间会涵盖该参数之概率。这就是所谓区间估计，所得的区间，称为信赖区间。而区间涵盖参数之概率，则称为此区间之信心水准(con？dencelevel)。与概率一样，信心水准是一介于0，1间的值，常事先给定，且以百分比表示。90%、95%，及99%等，都是常取的值。

数据(data)是统计学家做决策之主要依据。若缺乏数据，他们往往将一筹莫展。来看一简单且常见的情况。假设欲估计一铜板出现正面之概率p。很自然地，便投掷若干次，譬如说n次，并观测n次的结果。这个过程便称为取样。在本情况中，各次投掷的结果并不重要。总共得的正面数，以a表之。知道a，就已掌握全部资讯(a称为充分统计量(su？cient statistic))。给定信心水准，并利用n及a，可得一信赖区间，但作法并不唯一。亦即对于p，有不同的信赖区间公式。但课纲的写法，好像信赖区间的公式唯一。此处由于其中涉及二项分布，计算复杂些，如果n够大(n太小则不行)，我们常可藉助常态分布来近似。这要用到概率论里另一重要的法则—中央极限定理(Central limit theorem)。必须一提，只有以常态分布来近似时，才需用到中央极限定理，并非求信赖区间皆要用到此定理。

对估计铜板出现正面之概率p，取样前，信赖区间为一随机区间，若信心水准设定为95%，则有(或精准地说“约有”，如果该信赖区间只是近似的)0.95的概率，信赖区间会包含p。取样后，得到一固定区间。则p会属于该区间的概率，将不是1便是0，而不再是p了。为何如此？很多人对此常感困惑。

我们先以下例来说明。假设某百货公司周年庆，顾客购物达一定金额，便能自1至10号中抽1彩球。若抽中5号，今天在该公司的花费，可获30%抵用券。在抽球之前，你知道有0.1的概率能获抵用券，机会不算小。一旦抽出，一看是3号，获抵用券的概率当然便是0了。

这类例子很多。打击手挥棒前，可以说打出安打之概率为0.341，打完不是安打就非安打，0.341已派不上用场了。再给一例。假设某银行发行的乐透彩，每期自1至42号中，开出6码为头奖号码。你签了一注6码，开奖前，你知道很容易“至少中1码”，因概率约为0.629(见附注1)。等开奖后，你的彩券会至少中1码之概率，将是1(若至少中1码)，或是0(若1码皆未中)。

再看如课纲中所说，也可以乱数表模拟出现正面(课纲中少了“正面”二字，意思便不通)概率为p的铜板n次，以求得信赖区间。你看，p根本是事先设定，模拟所得之一固定区间，p有没有落在其间，一看便知，如何能说该区间涵盖p之概率为0.95？就算你不是模拟，而是实际拿一铜板投掷，则p只是未知，却为某一定值(说不定发行铜板的单位知道)，投掷后所得之固定信赖区间，已无随机性了，它只会涵盖p，或不会涵盖p。可以这样想，对同一铜板，每人所得之95%信赖区间有异，如何能个个皆宣称，其区间涵盖p之概率为0.95？

那95%有何用？0.95是一概率值，而概率值从来就不是只看一次的实验结果。大约可以这么说，如果反覆实验，而得到很多信赖区间，则其中会包含p的信赖区间数，约占全部区间数的95%。所以，0.95的意义，乃如同上一节我们对概率的解释。但要留意的是，对同一个p，如果全班40人，所得到的40个95%信赖区间，其中包含p的个数未超过85%(即未超过34个)，也不要太惊讶。此概率约为0.01388(附注2)，是不太大，但只要班级数够多，便不难发生。98课纲说“大多数学生所得的信赖区间都会涵盖p”，实在缺乏随机的概念。

情境解读

概率既然与我们的生活习习相关，因此若能善用概率，将有助于在随机世界中，更精准的做决策。只是却往往概率应用不易，得到的概率值，常被认为是错的。而且还众说纷纭，各提出不同的概率值。个中原因何在？一主要原因，即情境解读有误。

过去大家在数学课程中，会遇到所谓应用题。题目看懂，写出数学式子后，就是解数学了。这时便可抛开原先那段冗长的叙述。但在概率里，有些看似简单的情境，因解读不同，会导致南辕北辙的结论。底下给几个例子来看。

在电影决胜21点(英文片名就是21)中，那位数学教授于课堂上提出一个问题。有3扇门，其中1扇门后有汽车，另两扇门后为山羊。你选择第1扇门后，主持人打开第2扇门，见到山羊。问你这时该不该换选第3扇门？有位学生答：

Yes， because my chance of getting the carwill increase from 33.33% to66.67% by switching from door 1 to door 3.

教授则说“Very good!”，认同其看法，也就是该换。有些人对此提出质疑。

比较正确的讲法应该是，若主持人事先知道汽车在那扇门后，则他会打开1扇门后是山羊的门(这是较合理的作法，否则游戏便无法进行了)，这时若换选第3扇门，则如电影中那位学生所述，得到汽车的概率，将由1/3增加为2/3。但若主持人事先不知汽车在那1扇门后(这当然是少见的情况)，只是随机地自第2及第3扇门中，挑一扇打开，且刚好门后是山羊，则便不用换，因换或不换，得到汽车之概率，皆为1/2。

但是读者不知是否注意到，在主持人事先知道汽车在那一扇门后的情况中，我们其实还隐含做一假设。即若第2及第3扇门后皆是山羊，则主持人乃随机地(即各以1/2的概率)打开第2或第3扇门。事实上，可以有更一般的假设。当第2及第3扇门后皆是山羊，假设主持人分别以q及1/q的概率，打开第2或第3扇门，其中0≤q≤1。则换选第3扇门，得到汽车的概率成为1/(1+q)(见附注2)。原来此概率会受主持人是如何打开第2扇门的影响!很多人可能未想到这点。由于1/(1+q)≥1/2，所以换，仍是较好的选择。

再看一例。有一对夫妻刚搬进某社区，大家只知他们有两个小孩，并不知性别。某日社区一管理员，见到此家之妈妈，带着家中一小孩在玩耍。若该小孩是女孩，求此家两小孩皆为女孩之概率。很多人以为此问题不难，认为所求概率就是1/3。其实此问题比我们想像的复杂很多。关键在如何将“见到此家之妈妈，带着家中一女孩“，转化为适当概率空间中的事件。也就是要讲清楚，究竟如何带小孩出门？要注意的是，前述事件并不等同于“此家至少有一女孩”!

最后看另一常出现于概率论教科书中的例子。平面上有一单位圆，随机地画一条弦，求弦长大于此圆的内接等边三角形之边长的概率。利用几何，单位圆的内接等边三角形之边长可求出。但如何是随机地画一条弦呢？要知由1至n的n个正整数中，随机地取1数，其意义较清楚，就是每一数被取中的概率皆为1/n。自区间[0，1]中随机地取1数，其意义也还明白，就是此数会落在[0，1]之任一子区间的概率，为该子区间之长度。但随机的画弦，是如何画法？此处对于“随机”一词，可以有好多种解释。解释不同，画弦的方式将不同，因而求出的概率也就不同。

上面这几个例子告诉我们，在处理概率问题时，情境要定义清楚。用术语来说，就是概率空间要明确给出，否则将导致各说各话。有时虽未给出概率空间，但情境较简单，大家有共同看法，这时未特别强调概率空间为何，还没问题。如“投掷一公正的骰子，求点数大于4之概率”。虽只是简单的描述，但不至于有疑义。当对情境有疑义时，就要如庄子在秋水篇讲的，“请循其本”，把概率空间调出来。此有如政治上或社会上，遇到有重大争议时，就要祭出宪法，看有没违宪，并由大法官解释。对一给定的情境，要很谨慎的面对。否则即使是概率统计专业人士，也可能解读错误。

情境解读之外，概率中一些独特的概念，像是条件概率，独立性，及随机取样等，也是应用概率时，得谨慎留意的。

来源：长江商业评论
作者：黄文璋

非常好的科普。