Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Chapter 1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
w Some Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
w A first glance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
w A stochastic optimal control problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
w Stochastic differential utility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
w Option pricing and contingent claim valuation . . . . . . . . . . . . . 7
w Definitions and Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
w Some Nonsolvable FBSDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
w Well-posedness of BSDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
w Solvability of FBSDEs in Small Time Durations . . . . . . . . . . . . . . . 19
w Comparison Theorems for BSDEs and FBSDEs . . . . . . . . . . . . . . . 22
Chapter 2. Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
w Compatible Conditions for Solvability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
w Some Reductions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
w Solvability of Linear FBSDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
w Necessary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
w Criteria for solvability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
w A Riccati Type Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
w Some Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Chapter 3. Method of Optimal Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
w Solvability and the Associated Optimal Control Problem . . . . . . 51
w An optimal control problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
w Approximate Solvability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
w Dynamic Programming Method and the HJB Equation . . . . . . . 57
w The Value Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
w Continuity and semi-concavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
w Approximation of the value function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
w A Class of Approximately Solvable FBSDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
w Construction of Approximate Adapted Solutions . . . . . . . . . . . . . . 75
Chapter 4. Four Step Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
w A Heuristic Derivation of Four Step Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
w Non-Degenerate Case--Several Solvable Classes . . . . . . . . . . . . . . . 84
w A general case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
w The case when h has linear growth in z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
w The case when m : 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
w Infinite Horizon Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
xii Contents
w The nodal solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
w Uniqueness of nodal solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
w The limit of finite duration problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Chapter 5. Linear, Degenerate Backward Stochastic
Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
w Formulation of the Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
w Well-posedness of Linear BSPDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
w Uniqueness of Adapted Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
w Uniqueness of adapted weak solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
w An It5 formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
w Existence of Adapted Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
w A Proof of the Fundamental Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
w Comparison Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Chapter 6. The Method of Continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
w The Bridge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
w Method of Continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
w The solvability of FBSDEs linked by bridges . . . . . . . . . . . . . 140
w A priori estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
w Some Solvable FBSDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
w A trivial FBSDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
w Decoupled FBSDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
w FBSDEs with monotonicity conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
w Properties of Bridges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
w Construction of Bridges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
w A general consideration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
w A one dimensional case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Chapter 7. FBSDEs with Reflections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
w Forward SDEs with Reflections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
w Backward SDEs with Reflections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
w Reflected Forward-Backward SDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
w A priori estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
w Existence and uniqueness of the adapted solutions . . . . . . . . 186
w A continuous dependence result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Chapter 8. Applications of FBSDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
w An Integral Representation Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
w A Nonlinear Feynman-Kac Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
w Black's Consol Rate Conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
w Hedging Options for a Large Investor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
w Hedging without constraint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
w Hedging with constraint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
w A Stochastic Black-Scholes Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
Contents xiii
w Stochastic Black-Scholes formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
w The convexity of the European contingent claims . . . . . . . . 229
w The robustness of Black-Scholes formula . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
w An American Game Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Chapter 9. Numerical Methods for FBSDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
w Formulation of the Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
w Numerical Approximation of the Quasilinear PDEs . . . . . . . . . . 237
w A special case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
w Numerical scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
w Error analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
w The approximating solutions {u(n)}~=l . . . . . . . . . . . . . 244
w General case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
w Numerical scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
w Error analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
w Numerical Approximation of the Forward SDE . . . . . . . . . . . . . . . 250
Comments and Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

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