连续函数与可测函数的定义比较

王羹渊

　　连续性的定义依赖于拓扑空间的定义。

　　设(X,Tx)、(Y,Ty)为拓扑空间，则映射f:X－＞Y称为连续映射，是指任给靶空间的开集V属于Ty，存在定义域中的的开集U属于Tx，使得f(U)=V。

　　设(X,Dx)、(Y,Dy)为可测空间，则映射f:X－＞Y称为可测函数，是指任给靶空间的可测集V属于Dy，存在定义域中的可测集U属于Dx，使得f(U)=V。

　　比较上述连续映射与可测函数的定义可知，二者在结构上非常类似，拓扑空间类似于可测空间，而连续映射类似于可测函数，而拓扑类似于西格马-代数。

　　事实上一个集合X上的拓扑和西格马-代数都是一个X上的一个集族。X上的拓扑T的成员称为开集。拓扑T满足公理：

　　(1)X、Φ属于T

　　(2)如果Ai属于T,则∪(Ai)属于T，即任意开集的并仍然是开集。

　　(3)如果A，B属于T,则A∩B属于T。即有限开集的交集仍然是开集。

　　而X上的西格马代数D的成员称为可测集。西格马代数D满足公理：

　　(1) X、Φ属于D

　　(2) 如果Ai属于D,则∪(Ai)属于D，即任意可测集的并仍然是可测集。

　　(3) 如果A、B属于D，则A-B属于D，两个可测集的差集是可测集。

　　可见，一个集合上的集族是拓扑和是西格马代数，在定义上非常类似。

　　连续函数是两个拓扑空间之间的映射，而可测函数则是两个可测空间之间的映射。可见，连续映射与可测映射都反映了两个集合之间的结构关系，连续映射反映的是两个集合的拓扑结构之间的关系，而可测函数反映的是两个集合的可测结构之间的关系。